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 li raggio s, che tocca la superficie focale in due punti, la incontrerà 

 altrove in N — 4 punti. In questo caso la serie g\i_i determinata sulla curva ó 

 dai raggi di [CJ uscenti dai punti di s dovrà dare 



■ 2 0«— 1+^), — 1) = N — 4 

 gruppi con punto doppio; dalla quale relazione si ha 



Pi=p — 1 



5. Sulla curva à la serie g^n-i precedentemente considerata e la serie 

 determinata dalle rette del fascio 0, hanno in comune 



T = {n — 2) (m — 2) — 



gruppi di due punti, e si ha così il numero 



T = {il 2) {m — 2) —j) + 1 



delle coppie di raggi della congruenza che sono in un fascio piano con un 

 raggio arbitrario della congruenza stessa. 



6. Quando tre raggi di [C] uscenti da un punto generico dello spazio 

 sono in un piano, diremo che costituiscono una terna di raggi; il piano 

 che li contiene lo diremo piano clella terna; il loro punto comune lo 

 diremo centro clella terna. I centri delle terne costituiscono una superficie 

 che diremo superficie delle terne. 



Per determinare 1' ordine di questa superficie, cioè il numero . dei punti 

 che essa ha comune con una retta arbitraria a, bisognerà determinare quante 

 terne di punti dei gruppi della serie g'^ sulla curva y si trovano in una 

 retta. Ogni retta del piano a determina su y una serie gm+n e le due serie 

 hanno in comune 



T'= ~ ^ ) {m + « - 2) - {n — 2)p 

 gruppi di tre punti; dal numero T' bisogna però togliere due volte (') il nu- 



(1) Così, ad esempio, si consideri la congruenza di 3° ordine e V classe, reciproca 

 di quella formata dalle corde di una cubica sghemba. Per essa la rigata F* ha sezioni 

 piane razionali e non esiste superficie delle terne. I valori w = 3 w=l p = 0 danno 

 adunque T' = 2, dal quale togliendo 2 Isj si ha appunto T=0. 



Per un altro esempio, consideriamo la congruenza del 3° ordine e della 6* classe 

 con 10 punti singolari (Rend. Acc. Lincei voi. VI pag. 8, 1890). Per essa n = 3, m = 6, 

 p = Ò. Non esiste superficie delle terne. Infatti se tre raggi immagini dei coni 

 di F3 fos sero in un piano, tre punti singolari della congruenza (3.6) studiata da Castel- 

 nuovo (Atti Ist. Veneto, voi. V, pag. 12, 1887) sarebbero in linea retta; il che non può 

 essere perchè i sei punti singolari sono proiettati su un piano arbitrario da ogni asse di 

 F3 in sei punti di una conica. Si ha dunque T' = 2 dal quale numero togliendo 2\l\ si 

 ottiene appunto T = 0. 



