I raggi di [C] uscenti dai punti di a determinano su una serie di g^n- II 

 numero dei punti doppi di questa serie sarà il numero domandato. 



Poiché una serie cf^ su ima curva di genere contiene in generale (') 



(r -|- 1) (/^ -|- rp — r) 



gruppi con un punto multiplo secondo r -]- 1 , si deduce che 1' ordine della 

 superficie focale è 



N = 2(^+7;-l)e). 



2. Classe della su^ìerficie focale. Essa è data dal numero dei piani 

 che passano per una retta arbitraria a e nei quali due raggi della [C] sono 

 infinitamente vicini. A sua volta questo numero è dato dalle tangenti che 

 si possono condurre alla curva y dal punto 0. Poiché il fascio delle rette 

 di centro 0, nel piano a, determina sulla y una serie g^rn che ha 2 {m -\- p — 1) 

 gruppi con un punto doppio, si deduce che la classe della superficie focale è 



M = 2(m — 1). 



3. Rango della congruenza. Il numero delle coppie di raggi di [C] 

 che appartengono ad im fascio colla retta a eguaglia il numero delle coppie 

 di punti che sulla curva y hanno in comune le due serie g^^ 9^m dianzi con- 

 siderate. 



Poiché due serie g^„ giacenti su una curva di genere p hanno 



gruppi di r -j- 1 punti comuni {^), si deduce che il rango della congruenza 

 è dato da 



g = (ii — l) {m — l)—p 



4. Se la retta a coincide con un raggio s della congruenza, la rigata F 

 è dell' ordine m -\- n — 2, perchè un piano condotto per s taglia F secondo s, 

 che è {n — 1)^'^'*, e contiene altri m — 1 raggi di [C]. La sezione di F 

 con im piano arbitrario u sarà dunque una curva ó dell' ordine m n — 2 con 

 punto (/^ — 1)^'^° in 0, e del genere pi diverso da p. 



(1} Castelnuovo, Geometria sulle curve algebriche. R. Acc. Scienze, Torino, voi. XXIV. 

 Per il sistema oo™-' di raggi dello spazio S-^ se ^ è V ordine del sistema, cioè 

 il numero dei raggi che passano per un punto arbitrario, e se iit+f è V ordine della rigata 

 che ha per direttrice una retta arbitraria, e se questa rigata è di genere p, V ordine della 

 varietà focale M^-i h 2 [v p — \). 



(3) Castelnuovo, 1. c. 



