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Matematica. — Sulla classificanone delle congruente. Nota 

 di Giovanni Bordiga, presentata dal Socio Cremona. 



I sistemi oo"-i di raggi di uno spazio fondamentale S„ godono della 

 importante proprietà, dovuta a Segre ('), che le rette del sistema sono — in 

 generale — tangenti n — 1 volte ad una varietà focale M„_i. Il numero 

 delle caratteristiche, cioè delle singolarità ordinarie che servono a classifi- 

 care il sistema, dipende dal numero n. 



Per n = 2 questo numero è 3, e le caratteristiche sono 6 ; ma il pro- 

 blema di determinare i limiti che i valori di tutte le caratteristiche possono 

 assumere e quello di verificare se ad ogni gruppo di caratteristiche corri- 

 sponda un determinato sistema, non furono ancora risolti per alcuno spazio {^). 



Per w — 3 il dott. E. Schumacher ha stabilito la classificazione 

 delle congruenze algebriche mediante quattro caratteristiche, cioè : 1' ordine 

 (numero di raggi che passano per un punto), la classe (numero di raggi 

 situati in un piano), la specie o rango (numero delle coppie di raggi 

 che appartengono ad un fascio piano con una retta arbitraria dello spazio) 

 e un numero / che risulta dalla considerazione di quelle terne di raggi 

 che escono da un punto e sono situati in un piano. (Il numero t esprime 

 quante terne possiede la congruenza i cui centri sono su di un piano, e i 

 cui piani passano per un medesimo punto). 



II dott. Schumacher fondò le sue ricerche nella rappresentazione dello 

 spazio rigato, che contiene la congruenza, sovra uno spazio lineare a 4 di- 

 mensioni. 



In questa Nota i risultati principali del dott. Schumacher sono ottenuti 

 assai pili brevemente dalla geometria sulle curve algebriche; alcuni di essi 

 possono estendersi senza difficoltà al caso generale di S„. 



1. Sia [C] la congruenza dello spazio ordinario di ordine n e classe m. 



Una retta arbitraria a è, come si sa, direttrice n^^'^ di una rigata F 

 situata su [C] che è dell' ordine n -f- m. Sia il genere di una sua sezione 

 ym+n gjtuata ìu uu plauo arbitrario a; sia 0 la traccia a su a. La curva 

 y avrà in 0 un punto n^^°. 



Ordine della superficie focale. L' ordine è dato dal numero dei punti 

 sulla retta a per i quali passano due raggi di [CJ infinitamente vicini. 



C) Segre, Un' osservazione sui sistemi di rette degli spazi superiori. Eeiid. Gire. 

 Mat. Palermo, t. Il, pag. 148. 



(2) G. Loria, Il passato ed il presente delle dottrine geometriche, pag. 46. 



(3) R. Schumacher, Classification der algebraischen strahlensysteme. Math. Ann. 

 XXXVII, pag. 100. 



