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ove A,B,C,M sono funzioni di x,y,p e q. Dicendo A, e la radici 

 dell' equazione 



AA^ — 2 BA 4- C = 0 , 



r equazioni delle caratteristiche sono : 



i ds — pdx — qdy = 0 i ds — j^dx — qdy = 0 



a) \ dy — lidx = 0 b) l dy — Izdx = i) 



[ kX,dp-{- Gdq + MA, dx =r- 0 [ A/I2 djj + Gdq + MX^ dx = 0 



Consideriamo uno qualunque di questi sistemi, ad esempio il sistema a). 

 È chiaro che si può sempre, ed in infiniti modi, formare una combinazione 

 lineare delle due ultime equazioni in guisa da potersi mettere sotto la forma 



essendo U e V due funzioni di x ,y ,p ,q , e rappresentando con d^ , dy i 

 differenziali rispetto ad x ,p , q e ad y ,p ,q rispettivamente. Allora il si- 

 stema a) si scrive: 



dz — pdx — qdy — 0 

 dy — Xydx 

 dyY + A. dJJ = 0 



Da questo sistema si risale all' equazione eliminando tra le equa- 

 zioni 



dy — X^dx — 0 



(—\ dy — A-i ( — ì dx-=-Q , 



ove le parentesi stanno ad indicare che anche p e q si riguardano funzioni 

 di ,r ed y. Si trova 



Ottenuta questa forma dell' equazione proposta, poniamo 



Uix ,y ,p .q)= ^ 

 oy 



^i^ ,y ,P ,q) = — ^; 



poi risolviamo queste equazioni rispetto a e ^ e scriviamo la condizione 

 d'integrabilità. Si ottiene un'equazione del secondo ordine in cp , il cui in- 

 tegrale si ha per quadratura quando sia noto quello della proposta. 



V 



