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È la trasformazione di Laplace generalizzata da Légendre ('). 



Supponiamo invece di conoscere due soluzioni particolari e l dell'e- 

 quazione proposta; allora è possibile, operando successivamente il cambia- 

 mento di funzione 



ed il cambiamento di variabile 



ridurre 1' equazione alla forma : 



l'altri ' l)ìj^ ' 



Se questa si deriva rispetto a ? e poi si elimina — ^, si giunge ad una 



l)ri 



equazione pure lineare ed omogenea, la quale ha per integrale 

 cioè, tornando alle antiche variabili, 



Questa espressione di z' si annulla per s = X e s = /x, cioè per due 

 soluzioni della proposta ed è da esse definita. Se poi si applicasse la tras- 

 formazione indicata n volte di seguito, si giungerebbe ad un' equazione della 

 stessa forma che ammette per integrale un' espressione lineare in ^ e nelle 

 sue derivate fino a quelle d' ordine n , la quale si annulla per 2n soluzioni 

 particolari della proposta. 



Si ritrovano così le trasformate studiate dal Darboux e dai sig. R. Liou- 

 ville e Niccoletti ; e si vede come il metodo adoperato si presti molto sem- 

 plicemente per dedurre tutti i teoremi ottenuti da questi autori. 



6. Infine mi permetto d' indicare una trasformazione integrale, la quale 

 è una generalizzazione di quella d' Imschenetskj^ (-) e si può riguardare, al- 

 meno in molti casi, come l'inversa della precedente. 



Abbiasi l' equazione lineare nelle derivate seconde di 2 



Ar + 2 Bs 4- + M = 0 , 



(1) Vedi Imsclienetsky, Étude sur les métìiodes cV intégration des équations du se- 

 cond ordre . . . ecc., traduzione di Hoiiel, pag. 61. 



(2) Memoria citata, pag. 50, 51. 



