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ove a , b , c sono funzioni soltanto di x ed y, il metodo di trasformazione 



r 



indicato coincide con quello di Laplace e Lewy. Infatti, posto z = 2ie -^^ ^ , 

 l'equazione diventa 



dalla quale derivando rispetto ad y ed eliminando s , si trae un' equazione 

 della forma (6) che ha per integrale 



\ady , \ r 



1)2 6 il)3 , \ ady 



~òy Dy 



= 1 — -f- az) 



y-^y^ ì 



È la trasformazione di Laplace, a meno di un fattore. 



Se invece coli' aiuto di una soluzione particolare e della proposta si eli- 

 mina da essa il termine in 2, poi si deriva ad esempio rispetto ad ?/ e si eli- 

 mina p, si trova un' equazione della stessa forma che ha per integrale 



2' = -^. 



l)y 



È la trasformazione di Lewy. 



Nella stessa maniera si vede subito che per 1' equazioni del tipo para- 

 bolico non esiste una trasformazione analoga a quella di Laplace, ma esiste 

 quella di Lewy. 



Consideriamo adesso l' equazione più generale 



ar -f- '2'bs -f- + Ip -\- mq -\- ns = 0 , {b- — ac ^= 0) 



lineare rispetto a ^ ed alle sue derivate. È sempre possibile ridurla alla 

 forma 



ai ri -j- 2bi s, -\- liPi fii Si — 0 



con una trasformazione del gruppo 



^ = X, rj = rj (i/; , y) , 2i=X{x,y)s. 



Derivando allora rispetto a ^ ed eliminando poi 2i , si trova un' equa- 

 zione pure lineare ed omogenea che ha l'integrale 



„r l>3l 



ossia, tornando alle antiche variabili, 



, ~<)2 , ~òS . 



2 = a — 4-8 \~yz . 



l,x^ ^ ly ^ ' 



Eendiconti. 1898, Vol. VII, 1» Sem. 4 



