— 24 — 



Le caratteristiche di questa equazione sono definite dai due sistemi dif- 

 ferenziali seguenti: 



[ dx — ^^,dy=^0 [ dy = Q 



\ M \ 



^''^ ^ / da: + ^ dp' 0 / _f- dq' + ^ dp' = 0 



^ ^p^ ^ ' ' ^p' ^ 



dz' — p'dx — q'dy = 0 \ ds' — p/dx — q'dy = 0 



Il sistema (i^) ammette l' integrale y = cost qualunque sia <f , mentre 

 il sistema {a) non ne ammette in generale. Però, eliminando fra le sue equa- 

 zioni dx Q dy , si giunge all' equazione 



la quale si può integrare quando sia 



Ma di qui si trae che (p{p)' , q') deve avere la forma 



^i{p') + ^2{p'q'). 



essendo ip^ e i/'2 due funzioni qualunque rispettivamente degli argomenti p' 

 e pi q' \ onde si conclude: L'equazioni riducibili alla forma 



si possono trasformare in altre aventi due integrali primi con una costante 

 arbitraria ed appartenenti a caratteristiche diverse. Altrettanto si può dire 

 per r equazioni del tipo : 



4. La sola equazione della forma f{s ,s) = 0 che si possa integrare 

 dopo una prima trasformazione è quella di Liouville 



s e". 



Derivando rispetto ad x e poi eliminando s , si trova 



s'=z'q' {p = s') , 



la quale si sa integrare. Come ha notato il sig. Darboux nella Memoria ci- 

 tata, r equazione di Liouville è la più semplice fra quelle della forma 

 /(s , 3) = 0 che si possono integrare col metodo da lui esposto. 



5. Per l'equazione della forma 



('3) s -\- ap bq -\- C2 — 0 , 



