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mono le condizioni di integrabilità delle funzioni incognite rimaste ; ma po s- 

 siamo giungere a conclusioni definitive per il nostro problema senza altri cal- 

 coli, osservando anzitutto che quelli fra i coefficienti brs cbe rimangono da calco- 

 lare, sono, per le (B') funzioni soltanto delle variabili 0 e xi si constata 

 inoltre facilmente che le equazioni (11), (B") cui devono soddisfare, non 

 sono altro che rispettivamente le equazioni di Gauss e di Codazzi relative 

 all' elemento lineare 



0 



cioè alla sfera a due dimensioni di raggio - dello spazio euclideo. 



c 



Abbiamo dunque dimostrato che: 



Lo spasio di Ricci è deformabile. Il problema di determinare tutte 

 le varietà a tre dimensioni applicabili su di esso, equivale analiticamente 

 a quello della deformatone della sfera, in quanto che ogni seconda forma 

 fondamentale di una sfera di dato raggio è altresì seconda forma fon- 

 damentale dello spasio di Ricci di egml raggio e viceversa. 



Geometricamente, per ogni superficie a curvatura costante positiva dello 

 spazio euclideo è possibile costruire una varietà a tre dimensioni applica- 

 bile sullo spazio di Eicci, e reciprocamente nota una di tali varietà se ne 

 può dedurre una superficie a due dimensioni applicabile sulla sfera. 



§ 8. Possiamo estendere il risultato ora ottenuto ad una classe piti 

 larga di superficie a tre dimensioni studiata nella mia Memoria . piìi volte 

 citata. Sono quelle a cui appartengono le seguenti forme caratteristiche del- 

 l' elemento lineare : 



(12) = f/a^ + k\ a" (fW^ + sen^ 6 df) 



_ dx^ + dif + ds^ 



dove ki è una costante in valore assoluto sempre minore di 1. Tali varietà 

 sono a cui'vatm"a totale nulla e a curvatura di Gauss positiva data da 



fi 



ovvero 



k' 



G = 



i-x' -j- f -\- s'f^ ' 

 le costanti k , ki essendo legate dalla relazione 



1 



,2 ._ 



^~~1+A-^' 



esse ammettono come superficie limite per ki=---^ 1 lo spazio euclideo. 



