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Per miglior ordine di trattazione verifichiamo, quantunque possa sembrar 

 superfluo, come per quest' elemento lineare le condizioni precedenti siano sod- 

 disfatte. Dal calcolo diretto dei simboli di Christoffel e di Riemann, fatte 

 corrispondere le variabili « , , % rispettivamente alle variabili X\ , Xz 

 delle formole generali (5) , (6) (') risulta che i primi sono tutti nulli, tranne 



«32,s ' — «33,2 = sen e cos 0 , 

 c 



e conseguentemente sono nulli anche i secondi, salvo 



Si riconosce allora subito che anzitutto sono soddisfatte le condizioni (A'), 

 e si riscontra nello stesso tempo l' identità delle funzioni a^''' (e quindi 

 delle a,. (2)) con le derivate prime della variabile a. 



§ 5. Quanto alla seconda parte, un sistema di funzioni hrs della forma 

 richiesta si deduce, unico e determinato, dalle (D') ed (E) stesse, quando si 

 abbia 



e = g 



ed è: 



(8) hrs — C(ars — ar«s) • 



Un tale sistema soddisfa alle equazioni fondamentali 

 infatti coi metodi del calcolo differenziale assoluto da esso abbiamo 



hrst = C(arst — CtrOCst — «s«rt) , 



e queste brst sono nulle, poiché sono nulle tanto le arsti come è noto, come 

 le «rs date dalle formole 



(') Si ha con ciò 



«11 = 1 ; «22 = ^ ; = h ^^"'^ 



c c 



lai = — sen^tì 



/■2 



«CO = 1 ; ffi(22) = ; = 



ars = = 0 per r ^ s . 

 (2) Si ha infatti «(» = 1 ; «<-') =«(3> = 0 , e per le 



si ha parimenti «i = 1 ; a.,= «3 = 0. Confronta per questi e per gli altri sviluppi di cal- 

 colo differenziale assoluto, che seguiranno, il Résumé de quelques travaux, ecc. già citato. 



