espressioni (3), ed osservando che nel determinante ortogonale — uguale al- 

 l' unità positiva — formato coi coefficienti y delle (2) ogni minore è uguale 

 al proprio complemento algebrico, si trova: 



(4) |By| = yA,, A,,...A,_ 



dove /li /io ... hr-\ ed ... hn-i sono due qualunque combinazioni fra loro 



complementari, formate con r — 1 ed ?^ — r numeri della serie 1 ,2,... ,n — 1, 

 e la somma comprende tutti gli (™z}) termini che si ricavano da quello 

 scritto considerando tutte le dette combinazioni. 



Le A/j, , , ... , Aft^_^ sono le curvature principali della varietà, corri- 



rispondenti agli assi a;),, , ^h., > ••• > ^/^-i ^^^^ indicatrice. Il quadrato che com- 

 parisce nella (4) come ultimo fattore ha pure un significato geometrico assai 

 semplice, poiché da una formola dovuta al sig. Jordan (') si deduce che esso 

 equivale al prodotto dei quadrati dei coseni degli n — r angoli formati dai 

 due spazii lineari ad n — r dimensioni determinati dagli assi , Xh^_^^, — , 



iChn-ì e dagli assi yr , yr+i -, — yn-\- H primo di tali spazii si può opportu- 

 namente chiamare uno spazio principale dell' indicatrice, il secondo è lo 

 spazio normale in 0 al dato S,-. Introducendo gli spazii ad r dimensioni 

 normali in 0 ai precedenti, ed applicando il teorema 2° dato dal sig. Jordan 

 n. 48 del 1. e, risulta infine: 



La curvatura in 0 della sezione fatta nella data varietà con uno 

 spazio lineare normale ad r dimensioni è aguale alla somma degli (rZÌ) 

 prodotti che si ottengono moltiplicando fra loro in tutti i modi possibili 

 r — 1 delle curvature principali ed i quadrati dei coseni degli angoli 

 formati dallo spazio fissato e dallo spazio lineare normale ad r dimen- 

 sioni, condotto per lo spazio principale {ad r — 1 dimensioni) dell' indica- 

 trice., al quale corrispondono le r — 1 curvature principali considerate. 



Q) Jordan, Essai sur la géométrie à n dimensions (Bulletin de la Société Math. de 

 France, t. 3, 1875, n. 50). 



/ hf. Ihr • • • • / hy. 



