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 si trovano indicate le regole sufficienti per il calcolo. Io non ho alcuna diffi- 

 coltà di ammettere ciò, anzi credo che questo sia un pregio del mio metodo. 

 Neil' introduzione ho adottato, per la natura stessa delle cose trattate, il 

 metodo basato sul puro ragionamento, ed ho stabilito così le proprietà della 

 forma fondamentale che nella geometria corrisponde alla retta. Ho costruito 

 i segmenti e li ho rappresentati per fissare le idee con dei simboli (numeri), 

 ai quali ho esteso le proprietà dei segmenti e viceversa. Dalle mie costru- 

 zioni ho dedotto la esistenza del segmento rappresentante il prodotto e il 

 quoziente di un segmento per un numero dato, e quindi anche di due nu- 

 meri ('). Da ciò deducesi che valgono per le operazioni fondamentali con que- 

 sti numeri le leggi ordinarie. Considerando dunque i numeri come simboli 

 scelti per indicare i nuovi segmenti che mano mano venivo costruendo, a me non 

 interessava punto di dar sempre le regole algoritmiche che servono al cal- 

 colo coi miei numeri indipendentemente dalle considerazioni sintetiche. È 

 però ovvio che dalle costruzioni eseguite sulla forma fondamentale per otte- 

 nere ad es. il prodotto o il quoziente di un segmento per un numero, si pos- 

 sono ricavare facilmente le regole della determinazione simbolica dei termini 

 del prodotto e del quoziente di due numeri qualunque essi siano. 



E a maggior ragione non mi sono occupato di trovare un algoritmo piii 

 semplice, dal punto di vista analitico, per rappresentare i miei numeri, perchè 

 tale ricerca sarebbe stata estranea allo scopo dei F. G. Ma a tale proposito 

 ho citato nelle mie precedenti Note la Memoria del prof. Levi-Civita sugli 

 infiniti e infinitesimi attuali quali elementi analitici (^), nella quale egli 

 costruisce con considerazioni puramente numeriche un sistema di numeri che 

 corrispondono ai miei numeri finiti, infiniti e infinitesimi d'ordine finito. Questi 

 si ottengono dai primi quando agli indici v dei monosemi (dove a e j- 

 sono numeri reali ordinari) e che corrispondono ai miei numeri a ccì , si danno 

 valori interi. Del resto le proprietà caratteristiche dei numeri rimangono le 

 stesse anche dando a quegli indici dei valori non interi. Ed è facile vedere, an- 

 che seguendo le considerazioni puramente analitiche del prof. Levi-Civita, che i 

 miei numeri finiti, infiniti e infinitesimi d'ordine finito formano un corpo, nel 

 senso che si trasforma in se medesimo mediante le operazioni fondamentali 

 dell'aritmetica regolate dalle leggi ordinarie (^). 



Ora, la obiezione del sig. Schoenflies, sebbene egli non lo abbia detto, 

 non si riferisce ai miei numeri finiti, infiniti e infinitesimi d'ordine finito, 



espressi colle unità 1, oo,, oof ... oo;'..., — —j-- — „ ma bensì ai 



numeri infiniti e infinitesimi d'ordine infinito. 



(1) F. G., pag. 154-159, tr. t. pag. 170-176. 



(2j Atti del R. Istituto veneto, 1894. 



(3) F. G., pag. 124 e 201 tr. t. pag. 139 e 217. 



