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Nella parte geometrica dei F. G. ho dichiarato che mi limito soltanto 

 al campo dei segmenti transfiniti di ordine finito ('); la questione dunque di 

 una geometria nella quale due segmenti rettilinei A e B (A •< B) non obbe- 

 discono in generale al postulato d'Archimede, ma bensì alla relazione A ?;>-B 

 dove 1] è un numero transfinito, non è intaccata menomemente dalle obiezioni 

 del sig. Schoenflies (-). 



3. Ma almeno le obiezioni del sig. Schoenflies rispetto ai miei numeri transfi- 

 niti d'ordine infinito sono esse esatte? Per quanto tale questione, dopo ciò che 

 ho detto, diventi secondaria per la geometria, debbo rispondere negativamente. 



Intanto dalla nota della prefazione dei F. G. da lui citata e sopra ripor- 

 tata, non risulta che io sia in contraddizione con me stesso, non risulta cioè 

 che la moltiplicazione dei miei numeri non possa aver luogo. Anche i numeri 

 studiati dal sig. Levi-Givita, e pei quali il sig. Schoenflies riconosce possi- 

 bile la moltiplicazione, sono numeri complessi a infinite unità 1m (dove v è 

 un numero reale qualunque ordinario) pei quali vale appunto l'osservazione 

 contenuta nella nota anzidetta. Quella mia osservazione non autorizza dun- 

 que a trarre la conclusione che il numero C = A . B non è confrontabile 

 cogli altri numeri del sistema, come egli asserisce alla fine della sua ultima 

 Nota, perchè tale asserzione si basa sulla obiezione relativa alla moltipli- 

 cazione. Ora, questa obiezione deriva da un malinteso, vale a dire il 

 sig. Schoenflies ritiene erroneamente che i miei numeri si possano estendere 

 indefinitamente dai due lati anziché da uno solo, nel senso ad es. che r' 

 nel numero A possa crescere indefinitamente, come può crescere indefinita- 

 mente r. Per persuadersene basta osservare che i miei segmenti, e quindi 

 anche i numeri che li rappresentano, sono ottenuti o come somme di un numero 

 finito di segmenti finiti, o coll'applicazione ad un segmento dato di un nu- 

 mero finito di volte del principio dell' ip. IV e dell' ip. Y, o mediante la 

 somma di un numero finito di segmenti così ottenuti, coll'applicazione del- 

 l' ip. VII e finalmente come somma di im numero finito di segmenti limiti 

 di serie di segmenti indefinitamente decrescenti sia in senso relativo che in 

 senso assoluto. La sede ad es. : 



(1) «0 coi + ^1 H h^f'^iH per ?i = 00 



non rappresenta un segmento (AB), ma un campo illimitato di segmenti, e 

 quindi neppure uno dei miei numeri. Il numero A deve sempre cominciare 

 da un primo numero di unità data, ad es. ooi' , mentre il simbolo A' del 

 sig. Schoenflies lascia credere che n possa crescere indefinitamente. Così il 

 numero A non può contenere la serie: 



001°"'-''"' ' 001°°'-''"-" ' 

 (1) F. G., pag. 245, tr. t. pag. 266. 



(-) Osservo a questo proposito che per ìa intelligenza della sola parte geometrica dei 

 F. G. il lettore può limitarsi facilmente ai transfiniti d'ordine finito. 



