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dove ecc. significa che vi è ima serie indefinita di termini, la moltiplicazione 

 è possibile, nel senso che A . B è un numero del sistema confrontabile cogli 

 altri. Ad es. essendo n=r^,, m = Si, il coeffìcente Co dell'unità 1 è 



Co^Ybi aT + y h\ a'! + Y b'! a! + f b'^' ai . 



0 0 0 0 



Da ultimo osservo che l'esempio numerico dei F. G. riportato dal sig. 



Schoenflies, nel quale esprimo il numero ^ mediante le unità — , 



00, — m ooi 



7, è esatto limitandosi alle unità — cioè al campo 



oof OCf 00, oot 00?- ^ 



dei numeri infinitesimi di ordine finito. La prima parentesi basta a determinare 

 il numero stesso anche considerando le unità infinite d'ordine infinito ('). 



4. Il Klein nella sua recente relazione sul terzo volume della teoria 

 dei gruppi di trasformazioni di Lie, accennando ai miei numeri transfiniti, 

 e quindi al nuovo continuo rettilineo, dichiara di astenersi dal pronunciarsi 

 sulle obiezioni mosse contro tali concetti, ma che però da essi non si sono 

 ottenuti finora « greifbare geometrische Resultate Non discuto gli apprez- 

 zamenti personali sul valore delle cose mie, tanto più di un matematico 

 il cui nome mi risveglia care memorie; credo però che quando non si 

 avrà più alcun dubbio sulla soluzione da me data alla questione dell'assioma 

 d'Archimede si troveranno anche nella parte geometrica dei F. G. dei risultati 

 chiari e determinati ("^) ; e in ogni caso si vedrà che la soluzione dèlia que- 

 stione che mi sono proposta è già per se stessa un risultato matematico de- 

 terminato. 



A proposito dell' indirizzo del mio libro, Klein aggiunge che egli trova 

 « aeusserst schwer » di seguire il mio « Gedankengang » anche in una sola 

 parte. Non nego che difficoltà vi siano, ma esse dipendono anche dalla na- 

 tura del problema trattato. Più si discende e più difficili sono le questioni 

 intorno ai fondamenti della scienza, di guisa che le maggiori difficoltà s' in- 

 contrano dapprincipio. E nel mio libro sono forse più gravi che in altri, perchè 

 non ho supposto nulla di noto per trattare il problema in tutta la sua ge- 

 neralità. Se io avessi avuto di mira un solo postulato, ad es. quello di Ar- 

 chimede, 0 se io avessi fatto uso fin dal principio dell' istrumento analitico 



(') F. G. pag. 155 e seg. tr. t. 172. 



(2) Ad es. il sistema geometrico del quale fanno parte il sistema Riemanniano (sfe- 

 rico 0 elittico) e il sistema Euclideo, ove si passa dall'uno all'altro coi concetti d'infinito 

 e di infinitesimo attuale; e il risultato che in ogni campo infinitesimo attuale intorno ad 

 un punto del sistema Riemanniano del sistema Euclideo e di quello di Lobatschewsky 

 vale il sistema Euclideo. Queste proposizioni furono dimostrate anche analiticamente dal 

 prof. Levi-Civita (1. e). 



