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aritmetico im' idea fondamentale del prof. Veronese. I miei numeri tuttavia 

 non sono atti a rappresentare V intero edificio di Veronese, ma ne compren- 

 dono (essendo per qualche rispetto più generali) solo una parte. Completo 

 ora la mia ricerca, mostrando in qual modo si possa generare, per via di 

 simboli, un sistema, nel cui tipo può farsi rientrare quello di Veronese, e 

 per cui conservano la loro validità tutte le ordinarie leggi dell'aritmetica. 



Contro i procedimenti del prof. Veronese sono state sollevate talune 

 obbiezioni da critici eminenti. Se mi si concede di esprimere il mio mo- 

 desto avviso, direi: 



Le obbiezioni, prese in sè, sono generalmente giuste, ma non si possono 

 applicare al sistema di Veronese, che è definito (specie per quanto si rife- 

 risce agli elementi infiniti d'ordine infinito) in modo alcun poco diverso da 

 quello inteso dai critici, e sfugge così ai loro appunti. 



Fu per certo il carattere eminentemente astratto dei concetti di Vero- 

 nese e la insolita forma di intuizione geometrica, di che egli seppe rivestirli, 

 origine e alimento alle divergenze. Io mi lusingo che le mie osservazioni 

 di carattere esclusivamente aritmetico parranno esenti da ogni difficoltà e 

 contribuiranno a far cessare il malinteso, col mettere in luce per altra via 

 il senso preciso delle ipotesi geometriche del prof. Veronese. 



Chieggo venia al lettore se l'indole delicata della questione mi obbli- 

 gherà ad essere alquanto prolisso, sì da dedicare questa prima comunicazione 

 ai preliminari, richiamando cose, dette già altrove, in modo non molto diverso. 

 Seguirà in una Nota prossima la parte sostanziale della generalizzazione 

 annunciata. 



1. Sia un insieme ordinato di elementi (numeri nel significato più ge- 

 nerale della parola) e si intendano adottati i segni e <^ , per esprimere 

 l'ordine degli elementi; si scriva cioè b'^a , se, nell'insieme ordinato, a 

 precede b , ecc. Si supponga di poter definire, per gli elementi dell' insieme, 

 certe quattro operazioni, che si comportino come le fondamentali dell' aritme- 

 tica, per modo: 



che gli elementi dell' insieme costituiscano un corpo rispetto alle ope- 

 razioni stesse; 



che valgano tutte le ordinarie regole di calcolo (incluse qiielle delle 

 disuguaglianze algebriche) (')■ 



Chiameremo sistema A (ovvero A' , A" , ecc.) un insieme siffatto. 



Costituisce per es. un sistema A l' insieme di tutti i numeri reali po- 

 sitivi e negativi, quando come criterio ordinativo si assuma quello della 

 grandezza algebrica. Colla medesima convenzione si possono risguardare come 

 sistemi A : l' insieme di tulti i numeri razionali, o più generalmente un 

 qualsiasi corpo di numeri algebrici reali ; infine l' insieme di elementi finiti, 

 infiniti ed infinitesimi, che studiai nel citato mio scritto. 



(1) Cioè per es., da a > è , c > , segua a-\- c^b-\-d e via dicendo. 



