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Non possiede invece tutti i requisiti di un sistema A l' insieme degli 

 ordinari numeri reali e complessi (qualora si abbia riguardo soltanto alla 

 grandezza dei rispettivi moduli); bisognerebbe aggiungere una qualche con- 

 venzinne, atta a farli divenire un insieme ordinato. 



Ci gioverà ancora di contraddistinguere con una denominazione speciale, 

 sistema N (ovvero N' , N" , ecc.) un insieme ordinato, il quale da un lato 

 soddisfaccia a ipotesi meno restrittive di A , in quanto si esiga solamente 

 che gli elementi dell' insieme costituiscano un corpo rispetto alla somma e 

 alla sottrazione (valendo sempre, si intende, le ordinarie regole di calcolo) ; 

 ma dall' altro verifichi una condizione di più. Si ammetta cioè sotto la forma 

 seguente il così detto assioma di Archimede : Se w , co' ed co" > &/ sono 

 tre elementi dell' insieme, esiste sempre un numero intero positivo k , tale che : 



uxC^k (&/' — «') . 



Si intende che il simbolo /^(m" — m) è soltanto un' abbreviatura della somma : 



k volte 



(&/' — m) -\- (w" — c//) -j- ■ • ■ -{- (o)" — &/) , 



cui, per le convenzioni poste, corrisponde effettivamente un elemento di N . 

 A questo proposito si può osservare che tanto i sistemi A , quanto i sistemi JV 

 constano di un numero infinito di elementi e comprendono necessariamente lo 

 zero. Infatti, se w è un elemento di uno di questi sistemi, anche w, 2ft) , 3w,..., 

 ad infìnitum debbono appartenere all' insieme ; del pari w — <» , che è poi 

 lo zero, per essersi ammessa la conservazione delle leggi formali. 



Sono sistemi iV tutti gli A, citati poc'anzi, ad eccezione dell'ultimo; 

 si ha invece un esempio di sistema iV (ma non A) nell' insieme di tutti i 

 numeri interi positivi e negativi, col solito criterio ordinativo della grandezza 

 algebrica; così i multipli di im qualsiasi numero reale, ecc. 



2. Dico che, assunti ad arbitrio un sistema A ed un sistema N , è pos- 

 sibile, con opportune convenzioni, costruire un nuovo sistema A' il quale: 

 1°) comprende tra i suoi elementi tutti quelli di A; 

 2°) ne comprende altri, che hanno, rispetto ai primi, carattere di in- 

 finiti e di infinitesimi. 



Per questa costruzione, basta seguire l' identico metodo, che vale, quando 

 A e iV rappresentano l'insieme dei numeri reali ('). 



Siano a ,b , c ^ ecc. elementi di A; v , fx , q , ecc. elementi di N; un 

 generico elemento si dirà, come di solito, positivo o negativo, secondochè esso 

 sia ^ 0 <1 di zero. 



(') Loc. cit., passim; ivi fio anche accennato (pag. 45) ad una estensione del proce- 

 dimento al caso che A sia lo stesso sistema, da me costruito. Qui non faccio altro che 

 applicare gli stessi principi, senza specializzare la natura del sistema. 



