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Ciò posto, ad ogni coppia faccio corrispondere un nuovo elemento, 

 che dico monosemio. Chiamo a la caratteristica, v V indice del monosemio. 

 Eisguardo il monosemio Uo identico al primitivo elemento a ài A; pongo di 

 più Ov = 0 , qualunque sia l' indice v : in ogni altro caso, attribuisco alla 

 eguaglianza di due monosemii il senso della identità. 



Per ordinare l' insieme dei monosemii, procedo nel modo seguente. 



Considero dapprima due monosemii a-t e b^, le cui caratteristiche siano 

 entrambe positive o entrambe negative. Se v — f^i , pongo a^^b^ , secon- 



dochè a^b ; se invece v è diverso da /t , pongo a^^b^, secondochè v < . 



Venendo al caso, in cui le caratteristiche ae b sono l'una, poniamo a, 

 positiva 0 nulla, e 1' altra b negativa o nulla, stabilisco sia > bj. ; va 

 però esclusa l' ipotesi a = ^ — 0 , per cui s' è posto 0[jl = 0^ — 0. 



Si verifica senza difiBcoltà che queste definizioni permettono effettiva- 

 mente di ordinare l' insieme dei monosemii ; sono cioè soddisfatte le leggi 

 caratteristiche dei segni — , >> e <^ . Per es., da a-t^ b^ , b^'^ Cp , segue 



Cp 1 e così via. 



Consideriamo ora im insieme (finito o infinito) di elementi N , tale però 

 che sia in ogni caso flnilo il numero di quelli tra essi, che superano un 

 elemento « dello stesso iV, comunque si scelga a. Chiameremo per brevità 

 ellittico un insieme di tal natura; esso è necessariamente numerabile, o, in 

 particolare, finito; anzi è manifesto che, facendo decrescere « in JV", se ne 

 possono ordinare gli elementi (tra loro distinti) in una successione decrescente 

 finita : 



1,10) ,,(1) i,(n) 

 v , « , . . , » , 



0 decrescente indefinitamente 



-,,(0) »,(1) i,(n) 



I , » , ... 



Si dimostra per questi insiemi ellittici: 



Lemma I. Se r""' , (r , s — 0 , 1 , ... , , ...) costituiscono due in- 

 siemi ellittici, anche r insieme di elemento generale i'*^' ' -j- ^u''' è ellittico. 



Lemma IL Nelle stesse condizioni è ellittico l'insieme di elemento 

 generale : 



(v<^> — ^<»') -f- {n^P^' — /!<»') + {{.i^P^' — .u'»') H [- (/l'^'ft' — /("') , 



(T , /ì; ,;j2 , = 0 , 1 /^ ,...). . 



La dimostrazione di questi due lemmi si fa come nella citata mia Nota. 

 Ivi ho supposto che l' insieme N sia costituito da tutti i numeri reali, ma 

 si constata immediatamente che intervengono nella dimostrazione soltanto 

 proprietà, spettanti ad ogni N . 



Kisguarderò come nuovo ente (numero) im complesso di monosemii, i 

 cui indici siano distinti e costituiscano un insieme ellittico. Come caso 



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