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passi per P (') e che i piani tangenti comuni in P a ^ e a Ci non vi siano 

 bitangenti a Ci e non siano tangenti alla rigata fondamentale A, C, si tra- 

 sforma in una nuova curva C2 in cui a P corrispondono s punti distinti della 

 retta p' corrispondente a P appartenente a X', nessuno dei quali appartiene 

 a Questi punti sono tutti semplici per C2. Lo si vede facilmente p. e. 

 con un' enumerazione, supponendo che si sia disposto della trasformazione 

 in modo che ^ non passi per altri punti di Ci e che A seghi Ci in punti 

 semplici distinti di cui mai due sulla stessa generatrice, il che si può sempre 

 fare Se w è l' ordine di Ci , quello di Gz è 'àm — s ; inoltre C2 ha 8m — 3s 

 punti su . A' è tripla per yl' : il numero delle intersezioni di ì! e C2 

 fuori di è quindi 



8 (3 — s) — 3 (8 — 3 s) = s ; 



gli s punti di C2 su pi sono dunque semplici. 



Essendo inoltre Ci disposta come or ora si è detto, la trasformazione 

 non genera nuovi punti multipli; inoltre tutti i punti multipli di Ci diversi 

 da P si mutano in punti di C2 ancora multipli ordinari (di ugual moltipli- 

 cità). Applicando adunque successivamente nuove trasformazioni analoghe a 

 quella precedente si elimineranno a uno a uno i punti multipli della curva. 



the rational trans formation between two spaces n.' 101 e seg. Proc. of the London math. 

 Society voi. Ili, 1869-71 e Mathematica! Papers voi. VII, p. 189) e dal sìg. Noether 

 (Ueber d. eind. Raumlransformationen v. s. w. Math. Ann. III, p. 547; (V. pure Salmon- 

 Friedler, Anal. Geom. d. Raumes). In quest'ultima Memoria sono studiati pure i casi 

 particolari. Io considero il caso generale, solo per fissare le idee; potrebbe scegliersi 

 invece uno qualunque dei casi particolari, esclusi quelli indicati con (E) e (G) dal sig. 

 Noether (il caso che le superficie cubiche del sistema omoloidico abbiano un punto doppio 

 fisso e quello della trasformazione cubica a tetraedro fondamentale). 



Detti 2 Q l' i due spazi, la trasformazione fa corrispondere ai piani di - le superficie 

 cubiche di l' per la sestica gobba di genere 3 A' e ai piani di Z' le sup. cubiche di Z per 

 r analoga sestica A. La superficie fondamentale della trasformazione è in i la rigata A del- 

 l' ottavo ordine delle trisecanti di A ; analogamente per la superficie fondamentale A' di 1'. 

 A ogni punto di A corrisponde una generatrice di A' e al fascio di direzioni uscenti da 

 P in un piano tangente a vi un punto di questa generatrice, essendo proiettiva la risul- 

 tante corrispondenza fra quei piani tangenti e questi punti. A è tripla per A, A' per A'. 



La trasformazione si può generare facendo corrispondere a ogni punto di 2, il punto 

 di 2,' intersezione dei tre piani corrispondenti in tre correlazioni. 



(1) In generale, qualunque sia la trasformazione che si voglia sostituire, come or 

 ora si è detto, a quella che qui si usa, si dovrà far cadere in P un punto fondamentale 

 0 farvi passare una linea fondamentale, soddisfacendo inoltre a condizioni analoghe a 

 quelle indicate nel testo. 



(2) Determinato A in modo arbitrario purchò soddisfi alle condizioni imposte in P 

 e non giaccia sul cono proiettante Ci da P basta sostituirle una sua trasformata per una 

 conveniente oraoh)gia di centro P por ottener soddisfatte queste condizioni. 



