— 114 — 



Due elementi non nulli m ed m di M si diranno ^niti tra di loro e 

 si scriverà w = w' , quando esiste un numero intero e positivo k , tale che 

 il maggiore dei valori assoluti, poniamo \(o\, sia più piccolo di k\ci}'\. Se non 

 esiste un tal numero /i' , si dirà w infmiLo rispetto ad w [co^xo'), ovvero 

 co' infinitesimo risi^etlo ad co. Si vede facilmente che i segni = >> e <; 

 si comportano al tutto come gli analoghi = , > e . 



Fissato ad arbitrio un elemento w di iW, è sempre possibile immagi- 

 nare un sistema di tipo N , che comprende « ed è contenuto in M. Infatti 

 tale sistema sarà per lo meno costituito dagli elementi: 



... , — 2(» , — «0 , 0 , « , 2m , ... , 



che formano un corpo rispetto alla somma e alla sottrazione e soddisfanno 

 all'assioma di Archimede (per es. sotto la forma, indicata a § 1). Se tutti 

 gli elementi di M sono finiti con co , lo stesso M è un JV ; in caso diverso 

 esisterà un qualche elemento &/, non finito con w, e potremo considerare 

 \m secondo sistema di tipo N , che lo comprende. Due tali sistemi non hanno, 

 all' infuori dello zero, alcun elemento comune, anzi è manifesto che gli ele- 

 menti non nulli dell' uno sono tutti infiniti, ovvero tutti infinitesimi, rispetto 

 ad ogni elemento non nullo dell'altro. Chiamerò indipendenti dwe qualunque 

 sistemi N' , N" , che si trovino in questa condizione e scriverò N' N" , 

 secondochè gli elementi di N' sono infiniti od infinitesimi, rispetto, a quelli 

 di iV". 



Ancora, denominerò intero \m sistema M, se esiste una varietà, del 

 resto qualunque, di sistemi N indipendenti (che dirò, per brevità, generatori), 

 tali che ogni elemento di M sia somma di un numero finito di elementi di 

 questi sistemi. 



Nei sistemi interi rientrano come caso particolare quelli di tipo iV, 

 che ammettono un unico sistema generatore e coincidono con esso. Intero è 

 anche il sistema V' , ricordato poc' anzi, i cui elementi risultano dalla somma 

 di un numero finito di monosemii • Infatti tutti gli , che hanno un 

 medesimo indice i' , costituiscono, al variare di a, un sistema di tipo N; 

 a valori diversi dell'indice corrispondono sistemi indipendenti; sono dunque 

 sistemi generatori i singoli a^ , v potendo assumere i valori 0,1,2,.... 



5. Vengo finalmente al punto essenziale di questo scritto, che è di ge- 

 neralizzare la deduzione di un sistema A' da un dato A , usufruendo di un 

 sistema intero M, anziché di un iV, come si è fatto a § 2. 



Siene a , b , ... elementi di A; v , ^ , ... elementi di M. Formo in primo 

 luogo i monosemii «v, adottando le stesse convenzioni ordinativo e opera- 

 tive che a § 2. Definisco poi degli insiemi di elementi di M nel modo 

 seguente : 



