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Tale V"' (che compreada in sè il primitivo V') è a sua volta un si- 

 stema M intero, da cui, assumendo sempre come A i numeri reali, si può 

 dedurre un A'". Le stesse limitazioni, con cui da A"' si passa a danno 

 ora un F'^^ e così di seguito (^). 



Si può pensare l' insieme V di tutte le V^*'^ (^■ = 1 , 2 , ...) (o, ciò che 

 è lo stesso, in quanto ciascuna V® comprende quelle, che la precedono, l' in- 

 sieme limite di V"'* per e = oo); anche questo è un sistema intero. Infatti 

 ogni elemento deve, per definizione, appartenere a qualche V'*^ e, come tale, 

 risultare da un numero finito di sistemi generatori. 



La classe (II) dei numeri interi del prof. Veronese equivale a V. 



A questo punto si è facilmente tratti a ritenere che, applicando ai nu- 

 meri reali la costruzione del § 5, con V per sistema intero M, risulti un A', 

 che rappresenti completamente il continuo rettilineo di Veronese. Se ne è 

 in realtà molto vicini, ma bisogna ancora una volta ampliare il sistema A', 

 introducendo nuovi elementi. 



Griova frattanto rilevare che lo stesto A' rispecchia una forma ad una 

 dimensione, per cui valgono le ipotesi I-VII (^) di Veronese, ma non l' Vili (^). 



8. Per abbracciare anche quest'ultima, si procede nel modo seguente. 



Un numero di A' si dice appartenente al sistema iV'*\ se iV'*' è il più 

 elevato dei suoi sistemi generatori, e se di piìi, negli indici dei singoli mo- 

 nosemii, l' addendo »'^'' è negativo (non nullo). In tale condizione, gli indici 

 stessi sono negativi e il numero si presenta come un infinitesimo, il cui or- 

 dine è in certa guisa misurato dal detto sistema generatore iV'*\ 



Ciò posto, si consideri una successione a'"^ , a'^^' , a'"^ , ... di elementi 

 di A', e si supponga che, scelto ad arbitrio un elemento w in V, la diffe- 

 renza — a''"' (h ,k <Ì n) appartenga, da un certo n in avanti, a degli 

 ]}f(.hii) piremo che la differenza a'''*' — a'"'' diventa indefinitamente pic- 

 cola in senso assoluto e chiameremo convergente una successione (^), i cui 

 elementi godono di questa proprietà. 



Ad ognuna di esse potrà farsi corrispondere un nuovo elemento l (■''). 



(') Secondo la notazione di Veronese, sarebbe il sistema, che si ottiene dal simbolo Z, 

 supponendovi ^ infinito d'ordine finito (cfr. " Fondamenti, ecc.», pag. 107; si badi che 

 Z consta in ogni caso di un numero finito di addendi). Dallo stesso simbolo Z, usu- 

 fruendo i numeri di F'''^, si han quelli di F<'^ ecc. 



(2) Cfr. pag. 67, 84, 92, 106, 128, 147. 



(3) Pag. 150. 



(^) Sarebbe per es. convergente (usando la nomenclatura di Veronese) la successione : 



^ ' ^ +i ' ^ +^ ' ^ + ^+;:;^. +;;^<^ ' - • 



(5) Questa convenzione sostituisce l'ipotesi Vili di Veronese. Volendo mantenere 

 r analogia, anche nella forma, si potrebbe sostituire alla successione a'O , , ... una 

 coppia di classi contigue (in senso assoluto). 



