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 Ricordo ancora che le equazioni 



■Ife ] '^1 1 ••• j ttii 1 ••• \ 



k=l ...m 



ottenute dalle (1) cambiando soltanto significato alle quantità che vi inter- 

 vengono, sono le equazioni finite di un gruppo la cui composizione dipende 

 soltanto dal numero n delle variabili e dall' ordine s delle equazioni di de- 

 finizione (e che io rappresento perciò col simbolo Ysn)- 



Ciò posto, il teorema a cui è destinata la presente Nota è il seguente : 

 Negli invarianti differenziali di ogni gruppo continuo le variabili 

 dipendenti ed indipendenti entrano soltanto sotto le funzioni caratteristiche. 



VarioMdo queste funzioni, si passa dagli invarianti differenziali 

 di un gruppo a quelli di tutti i gruppi simili. 



Infine, considerando le derivate e le funzioni caratteristiche come 

 argomenti, gli invarianti differenziali altro non sono che gli invarianti 

 (di ordine zero) di gruppi intransitivi con la composizione ysn- 

 Sia una trasformazione infinitesima qualunque nelle variabili 



'^f =Y^i{a;,...Xn)^^\ 



e distribuiamo le Xi ... Xn in due serie: le une, che indicheremo con m, ...m^, 

 si considerino come variabili indipendenti; le rimanenti, che indicheremo 

 con Vx ... Vq , {q -\- p = n) come funzioni delle U\ ... Up . Conveniamo infine di 

 rappresentare con iOi,...io^s le derivate fino all'ordine s delle v rispetto 

 alle u. Il caso che alcune delle variabili dipendenti od indipendenti non 

 siano trasformate non ha ragione di essere particolarmente considerato; esso 

 corrisponde all' ipotesi che alcune delle siano nulle. 



Estendendo (M la X/ alle derivate iVi,...7V^s, si ottiene una trasfor- 

 mazione della forma : 



in cui le Xj,Mj...„ sono trasformazioni infinitesime nelle sole variabili mji-.^^'jas 

 e che non dipendono in nessun modo dalle funzioni fi 



Le trasformazioni Xi,.,,...^^ generano per loro conto un gruppo {^) nelle 

 variabili "Vi , ... Wf^^'i oi'a è importante notare che la composizione di questo 

 gruppo dipende soltanto dal numero complessivo n delle variabili Xi ... Xn 

 e dall'ordine s della estensione; non dipende affatto dalla scelta delle va- 



fi) Theorie der Transformationsgruppen. Abschnitt. I, Capit. 25. 

 (2) Memoria citata (teorema III). 



