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riabili indipendenti e dipendenti, e nemmeno dal numero delle prime e delle 

 seconde. Questa composizione è quella clie io rappresento col simbolo ysn e 

 che ho già avuto occasione di ricordare. 



Introduciamo ora una serie di variabili ... tjn non trasformate, consi- 

 deriamo le X\ ... Xn come tutte indipendenti tra loro, le ?/i ... yn invece come 

 funzioni delle Xi...Xni ed indichiamo con , ... tìims le derivate delle y ri- 

 spetto alle X fino all' ordine s. 



La X/ estesa alle ... prende la forma: 



in cui le Xj,v,...-j,^ sono trasformazioni nelle variabili ai ... \ esse formano 

 un gruppo con la composizione y^n'- di questo gruppo sappiamo inoltre che 

 esso è semplicemente transitivo Il sistema di valori: 



^ = (.,, = 0 per = ^=0,... 



si indicherà con a? , ... (2^^. 



Proponiamoci ora di : esprimere le derivate W\ , ... W[as delle v rispetto 

 alle u, in funzione delle derivate ai...ams delle y rispetto alle x , in modo 

 che 'pel sistema di valori ai = al , ... am^ == a^i^ assumano i valori iniziali 



Questo problema è stato da me già trattato nella Memoria più volte 

 citata. Si trovano delle equazioni 



(2) = {io, ... w,j.^ ; ai , ... a„J 



j = 1 - 



che risolute rispetto a , ... tou.^ darebbero le espressioni cercate. Noi pos- 

 siamo del resto per ciò che segue fare a meno di questa risoluzione. 



Le (2) sono le equazioni finite di un gruppo con la composizione ysn', 

 i parametri della trasformazione identica sono ai^.-.a^^. È anche chiaro il 

 significato delle (2) : ricordando il procedimento seguito per formarle, si vede 

 che esse sono affatto indipendenti dalla natura delle funzioni Esse 

 dunque rappresentano il modo col quale per una trasformazione generica 

 nelle variabili _Xi ... Xn vengono trasformate le derivate delle v rispetto alle u . 



Come le Xi,^j...v,^ sono le trasformazioni infinitesime del modo di esten- 

 sione considerato, così le (2) ne sono le equazioni finite. 



Si giunge ora immediatamente al teorema enunciato nel principio di 

 questa Nota. 



(') Lie, Grundlagen fiir die Theorie der unendl. Tr.gruppen (Leipziger Berichte 1891). 



