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Sia un gruppo qualunque nelle variabili ... . Allora hanno luogo 

 le equazioni: 



(3) ^m{Xx ... = Ift ; £Oi(?/i ... y„) , ... USmiyi - Vn) ; «1 ... «m, ( 



k = 1 ... m . 



Tra le quantità Xi ... Xn , io\ ... w^j.^ , y\ ... yn , iVi ... w^^ non hanno luogo 

 altre relazioni che le (2), (3) : gli invarianti differenziali si ottengono dunque 

 per combinazione di queste equazioni. Essi sono i primi membri in equazioni 

 della forma: 



iì ] T^i{x) , ... Wr^{x) , w'I ... \ = fì]m^{y) , ... w,n{y) , lOi ... w^,^ { 



questo appunto volevo dimostrare. 



Aggiungerò alcune considerazioni sopra i gruppi rappresentati dalle (2). 



1. Dalle equazioni relative alle lOi , ... w^j.^ si ottengono, per derivazione 

 rispetto Ui...Up, tutte quelle relative alle w^x^+i , ... w^^^^. Quindi tutte le 

 equazioni (2) si ottengono per derivazione da certe equazioni 



(2') ivJ = 0j(wi...tv^j.,,ai...am^) 



che formano un gruppo isomorfo al gruppo lineare omogeneo in n variabili 

 (perchè, come si sa, la composizione ym è quella del gruppo lineare omogeneo 

 in 71 variabili). 



D' altra parte le (2') si possono formare mediante risoluzione di equa- 

 zioni algebriche, eliminazioni, ed una quadratura al più. Brevemente diremo 

 che le equasioni (2) si formano con operazioni effettuabili. 



Segue già di qui che la determinazione degli invarianti differenziali 

 non richiede che operazioni effettuabili quando si conoscano le equazioni di 

 definizione delle trasformazioni finite — circostanza già nota (^). 



Anche le formazione delle (8) non richiede, nei gruppi transitivi, che 

 operazioni effettuabili. Dunque : la determinazione degli invarianti differen- 

 ziali di un grufi:)0 transitivo, di cui sono date le equazioni di definizione 

 delle trasformazioni infinitesime, non richiede che operazioni effettuabili. 



2. I gruppi rappresentati dalle (2) sono sempre transitivi: se infatti 

 vi fossero degli invarianti: 



questi sarebbero degli invarianti differenziali pel gruppo di tutte le trasfor- 

 mazioni in Xi ... Xn ; poiché questo gruppo trasforma mia varietà qualunque 



(1) Theorie der Transformationsgruppen. Abschnitt III. Theorem. 53. 

 (-) Lie, Ueber Differentialinvarianten. Math. Ann. 24. 



