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contenuta in E„:^i in ogni altra varietà di egual numero di dimen- 

 sioni, si vede che invarianti siffatti non possono esistere. 



La via tenuta per formare gli invarianti differenziali ci suggerisce anche 

 una estensione del concetto di invariante differenziale. Il Killing in un la- 

 voro, Ueber die Enoeiterimg des Invariantenbegriffs (Math. Ann. Bd. 35), 

 ed il Lie nella prima parte dellla Theorie der Transformationsgruppen : si 

 sono occupati di una estensione analoga per gli invarianti di ordine zero. Ma gli 

 invarianti a cui mi propongo di accennare non mi sembra siano stati ancora 

 da nessuno considerati. 



Imaginiamo di avere formate le equazioni finite (analoghe dunque alle 

 (2)) per un numero qualunque di estensioni diverse. Per fissare le idee e 

 per considerare il caso più semplice, supponiamo di avere fatta un' altra di- 

 stribuzione delle ... a^n in due serie di variabili; siano questa volta 

 le variabili indipendenti, e siano Vi ... y^, le dipendenti (^-i -}- = n). In- 

 dichiamo con Wi ... le derivate delle v rispetto alle u fino all' ordine s. 



Analogamente alle (2), si hanno delle equazioni: 



(2') Wj -= Vi . . . Wv, , «1 - amj 



j = 1 - 



che rappresentano anche esse, come le (2) e le (3), un gruppo con la com- 

 posizione • Considerando l' insieme delle (2), (2'), (3) si hanno tre specie 

 di invarianti: 



invarianti composti con le uSi ... o5,„ W]....w^^\ 



invarianti composti con le ceJi ... cfj,^ ... w^^ ; 



invarianti composti con le ...'cStn.tOi ... lo^j.^ .Wi ...Iv-i^ e che non 

 si possono esprimere con soli invarianti delle due prime categorie. Invarianti 

 di questa natura ve ne sono sempre in generale: fanno eccezione soltanto i 

 gruppi che non hanno nell'intorno di un punto generico altro che trasfor- 

 mazioni di ordine zero. 



Per questi nuovi invarianti vale naturalmente il teorema enunciato nel 

 principio di questa Nota; le nozioni di invariante relativo, parametro diffe- 

 renziale, ... si estendono facilmente anche a questi invarianti piii generali. 

 Anche il bel teorema di Tresse (^) relativo ai criteri di equivalenza di due 

 varietà vale per gli invarianti di cui ci occupiamo. La loro teoria non dif- 

 ferisce in sostanza da quella degli invarianti ordinari: essi si determinano, 

 come questi ultimi, con operazioni effettuabili quando il gruppo da cui si 

 parte è transitivo. 



(•) Trasse, Sur les invariants différentiels (Acta Matematica, voi. 18). 



Rendiconti. 1898, Vol. VII, P Sem. 



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