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Indicando con f„ il secondo membro della (1), sarà (i) : 



^(9^) = X~ (?n — nxSn-. + i^fj x'^n-^ h (" 1)" -^"^o) D"^. ; 



ora, se si eseguisce l' operazione indicata tra parentesi sulle , e si rappre- 

 senta con ^ la differenza finita rispetto all' indice V espressione precedente 

 si trasforma senza difficoltà in 



(3) k{(f) = >_ -r ^" («00 + «01* H h a,p,xP) D> . 



Mentre le (1) definivano l'operazione A per le sole serie di potenze, 

 la (3) vale a definirla per ogni funzione analitica (p che renda il secondo 

 membro convergente in ugual grado entro un' area del piano della variabile x. 



8. Indichiamo subito alcuni casi particolari dell' operazione A. Se i coef- 

 ficienti an.o -, ttn.i , — Un.p SÌ suppoDgono indipendenti dall'indice n, l'opera- 

 zione À.{(p) si riduce alla moltiplicazione di una serie di potenze arbitraria ^ 

 per un polinomio di grado p. 



Se i coefficienti an.o , ••• dn.p sono polinomi razionali interi di grado s 

 rispetto all' indice n, le loro differenze finite dall' ordine s -j- 1 in avanti sa- 

 ranno nulle, e la (3) mostra che in tale ipotesi la A(^) si riduce ad una forma 

 lineare differenziale d' ordine s, normale rispetto al punto ^ = 0, cioè i cui 

 integrali sono regolari nell'intorno di questo suo punto singolare. 



4. Ammetteremo che i coefficienti ano ed anp siano differenti da zero per 

 ogni valore di ìz. Dalla prima di queste ipotesi risulta che se si cerca di 

 soddisfare alla equazione A(y) = 0 mediante una serie di potenze (f di x, 

 tutti i cofficienti di questa serie sono nulli. L' operazione A non ha quindi 

 radici nell' insieme (o spazio) delle serie di potenze. 



5. Si indichino con B , B' operazioni definite da 



B(^") = hn x"" , B'{x") = h'„ ^" , 



l'operazione BAB' = Ai avrà la medesima forma di A, cioè si avrà 



Ai(,2?") = ^"(a^o + (^'m x-\ 1- dnpX^) : 



ora, le «no ed ami essendo differenti da zero, si potrà disporre delle hn ed 

 /4 in modo che à,^^ ed à^p siano, per ogni valore di n, uguali all' unità. Me- 

 diante ima simile trasformazione, possiamo quindi innanzi ammettere che sia 



(1') k{p(f) = ^" (1 + «ni ^ + «n2 X- -j \- XP) . 



(1) V. Mémoire sur le calcul fonctionnel distributif. Math. Annalen, Bd. XLIX, 

 §§ 56 e 63. 



