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Faremo infine l' ipotesi che le ani , cim , ••• cCn.p-\ abbiano limiti finiti per 

 n = 00 ; siano questi rispettivamente , ciì , ... Up-i . Ci sarà necessario di 

 considerare 1' equazione algebrica 



(4) l-\-a,2j-\-a,tf-\--yP = 0, 



e siano , ^2 , ... 3» le sue radici, con 



|a|^1^2|^ ••• ^|^«| • 



6. Fin qui, non si è fatta nessuna ipotesi relativamente alla convergenza 

 della serie (p cui si intendeva applicata l' operazione A. D'ora in avanti, con- 

 sidereremo quelle serie (f che convergono entro un cerchio di centro ^ = 0 

 e di raggio superiore a [^'ij; diremo S l'insieme (spazio lineare) di tali serie, 

 ed ogni tale serie sarà \m elemento 0 2mnto di S. 



Considerando la A(g:), data dalla (2), segue immediatamente (dall'ipo- 

 tesi che le ttnd hanno limiti finiti per n = ao) che k.{(f) è una serie di po- 

 tenze appartenente allo spazio S. Dico però che essa non è una serie arbi- 

 traria di questo spazio. Infatti, si ha 



. 00 



Qn kn—p ~\~ (In—p+ì.p—l k,n—p+\ "f" "' "f" 0^n—\.\ kn—\ -f~ kn | 



se ora determiniamo una successione di numeri g„ mediante l' equazione ri- 

 corrente 



(6) qn -f- ttn.l qn+l -f" (in.2 "f- ■" "h Qn-i-p = 0 , 



{n==0,l,2, ) , 



si scorge facilmente che la serie ^gnqn è assolutamente convergente e che 

 il suo valore è zero. Infatti, la (6) è una equazione lineare alle differenze 

 che ammette come equazione caratteristica la (4) ; onde per un noto teorema 

 del Poincaré risulta che 



(7) lim 



K=oo 



ed, in generale, precisamente 



Ora, per essere A(y) un elemento dello spazio S, indicando con r il 

 raggio del cerchio di convergenza di A(cp) e con r' , r" due numeri positivi 

 tale che sia 



r>/>/'>|^il, 



con 

 (5) 



