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si avrà, M essendo un numero positivo finito : 



per la (7), da un valore N dell' indice n in avanti, si avrà pure, M' essendo 

 anche un numero positivo finito : 



\qn\<M.'r"\ 



onde la serie y^lgnQn] e convergente, e quindi la ^ gnCln è assoMamente 

 convergente. Ma ponendo per le (/„ la loro espressione (5), viene immedia- 

 tamente in forza delle (6) che il valore di "y qn e zero. 



7. Indichiamo con Qi(w) , (^%{n) , ... Qp(w) un sistema fondamentale di 

 soluzioni dell'equazione (6). Si ha, Ci,Cz,...Cn essendo costanti arbitrarie. 



qn = Ci QiOO + eo Q,2{n) -\ \- Cp %{n) ; 



ciò significa che la relazione 



y Qn qn = 0 , 



equivale alle p relazioni 



(8) y^nQi('«) = 0, y p'„Q„(/2) = 0 , ... , yg,,qp{n) = 0 . 



In altri termini, la serie A.{(p) = V non è un elemento di S arbi- 

 trario, ma appartiene allo spazio lineare S'^'~", contenuto in S, delle serie i 

 cui coefficienti soddisfano alle j) relazioni indipendenti (8). 



8. In alcune Note recenti, sono stato condotto a distinguere nelle ope- 

 razioni distributive due diversi generi di degenerescenza ('). Si può dire de- 

 genere di primo genere in uno spazio S ad infinite dimensioni un' operazione 

 che ha radici fra gli elementi di S ; degenere di secondo genere nello stesso 

 spazio un'operazione che fa corrispondere agli elementi di S quelli di uno 

 spazio Si contenuto in S ma non identico con S. Questi due generi di de- 

 generescenza si presentano sempre insieme quando S si riduce ad un numero 

 finito di dimensioni, caso in cui 1' operazione distributiva diviene una omo- 

 grafia ordinaria. Riassumendo allora il risultato del § 4 e quello del § pre- 

 cedente, possiamo dire che : 



L' operazione A definita dalle {V) non ammette degenerescenza di "primo 

 geyiere, ma ammette sempre degenerescenza di secondo genere. 



Chiamando piano di S l' insieme delle funzioni y gn di S che sod- 

 disfano ad una relazione y_gnPn = ^ -, la appartiene ad un tempo z,p 



(') V. Appunti di calcolo funzionale distributivo, § 10, nei Rendiconti del E. Isti- 

 tuto lombardo, S. II, T. XXX, 1897; Sul concetto di piano in uno spazio ad infinite 

 dimensioni (nota a pie' della penultima pagina) nei Rendiconti della R. Accad. di Bologna, 

 30 gennaio 1898; Sull'operazione aggiunta, ibid., 17 aprile 1898. 



