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 Ma le condizioni (11) danno 



Ci{m) Ki{m) -\-C2{m) Kìim) -j \-Cp{m) Kp{M) = 1 



Ci{m) Ki(m — 1) -{-C2{m) K2{m — 1) -| \-Cp{m) Kp{m — 1) — 0 



( Ci{m) Ki{m—p-\-l)-\-C2{m) K2{m—2ì-{-l)~\---{-Cp{m) Kp{m—p-\-l) = 0 , 



da cui segue, per la proposizione richiamata, che Ci{m) , Czim) , ... Cp{m) co- 

 stituiranno un sistema fondamentale dell' equazione (6). Abbiamo in tal modo 

 ottenuta l' espressione delle A~^{cc'^) sotto la forma 



(12) A-»(^,^) =}_Ci{m) (Ki(w)^'" + Ki{m + 1)^»-^' + Ki{m + 2)^''»^-^ + •••)• 



In quanto alla convergenza di questo sviluppo, si osservi che l' equa- 

 zione caratteristica della (10) è la reciproca della (4), cioè 



ora Ki{v) essendo integrale della (10), si avrà per il citato teorema di 

 Poincaré : 



(13) Iti 



K,(r + 1) 



K,(r) 



\2p\ 



talché lo sviluppo (12) converge almeno entro il cerchio di centro ^ = 0 e 

 di raggio \Sp\. 



11. Ottenute cosi le A-' (;?;'"), sarà facile di avere il risultato dell' ope- 



00 



razione A~' applicata ad un elemento qualunque 9? = X 9n^^ dello spazio S. 

 Sia r il raggio del cerchio di convergenza di (f con r>-|^i|. Si avrà 



^ 00 00 



(14) A-'{(p) = 2- ^ — 9n Ciin) Ki{n + v)^"+^ 



1=1 n—O r=o 



ossia 



00 



n=0 



con 



= Z (^0 Ci{0) + gi Ci{l) -\ \- g„ Ci{n)) Ki{n) 



1=1 



Qui si può anche porre 



Cn(r) = È Oi{v) Ki(/^) , 



