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e si ottiene 



(15) kn = C„(0) + C„(l) 4- - -}- Qn C„(w) . 



In quanto alla convergenza dello sviluppo trovato, osserviamo che, per 

 la (14), essa avrà certamente luogo nel campo comune di convergenza delle 

 due serie 



00 00 



nel cui prodotto sono compresi i moduli dei termini della serie (14). Ora la 

 seconda di queste serie converge, come si è detto, per |^|<;|3'^1; la prima 

 converge almeno entro il cerchio di centro = 0 e di raggio 1, per essere 

 la Qn ei{n) assolutamente convergente, come si è dimostrato al § 6. Ma 

 dalla forma dell'equazione (4), segue onde la serie (14) converge 



almeno entro il cerchio di centro sc = 0 e di raggio | | . 



12. Da quanto precede si conclude che mentre cp è un elemento di S, 

 A-^((p) non appartiene generalmente ad S ma converge in un cerchio di rag- 

 gio \Sp\ generalmente inferiore a Ciò è analogo a quanto accade nel caso 

 della divisione di g) per il polinomio (a; — (^ — Sz) ... — Sp), opera- 

 zione che rientra come caso particolare in quella qui studiata. Ma sotto le 

 condizioni necessarie e sufficienti y(^i) = ^(^j) = - = ^(^^j) = 0, il quo- 

 ziente di (fi per il dato polinomio appartiene ad S. Vogliamo cercare quali 

 sono, nel caso dell'operazione generale A, le condizioni perchè la A~^(^) 

 appartenga ad S, o, in altre parole, in quali funzioni ^ di S 1' esecuzione 

 dell'operazione non produce singolarità. Queste condizioni, che si ridu- 

 cono a quelle della divisibilità nel caso che la A sia la moltiplicazione per un 

 polinomio, sono espresse dal seguente teorema : 



Condizione necessaria e sufficiente affinchè l' ofer azione A~\ eseguita 

 su una funzione cp di S, produca una funzione di S, è che (p appartenga 

 al S'^"'^ di S definito dalle p condizioni (8). 



13. Che la condizione sia necessaria è subito visto; infatti se A-^(9) -~ xp 

 deve appartenere ad S, k{xp^ — g> apparterrà al S'^'"'' in forza dei §§ 6 e 7. 

 Essendo poi le Cx{n) , C2(n) , ... Cp(n) un sistema fondamentale della (6) al 

 pari delle Qi{n) , Qzin) , ... %{n), le condizioni (8) si possono anche scrivere : 



00 



(16) Zi/vc^(r) = 0, {i = l ,2 ,...p). 



14. Dimostriamo ora che la condizione è sufficiente. Eicordando che 



