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la quale prova che A-'(y) = ^ knX^ converge nel cerchio di raggio r , c. d. d. 



15. Quando la funzione di S non appartiene allo spazio S^^^~'' defi- 

 nito dalle (8), l' operazione produce dunque su essa singolarità entro il 

 cerchio Queste singolarità sono però di tal natura che prese ji; -}- 1 fun- 

 zioni di S, 



00 



(f/i = Z ^ft^ '^'^ (/« = 1 , 2 , ... p + 1) , 



e posto ^~^{(f) — V^/i , vi è una combinazione lineare delle ^)^^ priva di sin- 

 golarità entro essa sarà la l\^>i-\- ■■■ -\- l^ì+x^ip+x -, quando si 

 determinino le U mediante le relazioni 



00 co co 



U Z,9iv Ciiy) 4- U y_9%^ Ci{v) -f- •■• -f Ip+i^Qp+i.^ Ci{v) = 0 , 



_ Non sarebbe diffìcile dimostrare, reciprocamente, che se è dato un sistema 

 S di serie di potenze convergenti nel cerchio di raggio s, ma tali che prese 

 lì qualunque di esse, una combinazione lineare di queste p converge oltre il 

 detto cerchio, questo sistema S è ottenuto dall' insieme delle serie convergenti 

 oltre s mediante l' applicazione dell' operazione inversa di una A quale è 

 stata definita in questo lavoro. 



16. Riassumendo, il risultato della presente Nota è il seguente: 

 Definita V operasione A dalle reiasioni 



con lim ttn.i — tti e ^ il massimo modulo delle radici di 1 -\- a^y -\- a%if -\- 



•■• -f- (^p-ì +2/^^ = 0; dello poi S l'insieme delle serie di intense di x 

 convergenti in un cerchio di raggio superiore a /' operazione A~\ ap- 

 plicata alle serie di S, produce funzioni aventi in generale singolarità 

 entro il cerchio C- L'operazione kr'^ produce funzioni prive di singolarità 

 entro quel cerchio se, e soltanto se la serie di S, ^^On x^, cui essa si ap- 

 plica, è tale che 



Z 9n G{n) = 0 , 



essendo Q>{n) l' integrale generale dell' equazione lineare alle differenze finite: 



C(^^) + an.x G{n + 1) H [- an.p-, G{n -^p - 1) + G{n + p) 0. 



Come si è già avvertito, la condizione qui espressa ricade su quella di 

 divisibilità per aiX-\ — a^.i x^'~'^ + '''^p quando è a„., indipendente da 

 i). Quando le a.n.i sono funzioni razionali di il teorema qui 

 enunciato fornisce proprietà delle equazioni differenziali lineari, che il lettore 

 può facilmente sviluppare. 



Rendiconti. 1898. Vol. VII, 1» Sem, 27 



