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La dimostrazione di Peano si fonda sui metodi di Grassmann e sulla 

 teoria dei numeri complessi d'ordine superiore. Però il teorema può stabi- 

 lirsi facilmente anche senza ricorrere a tali teorie. 



Sia W il wronskiano delle n funzioni, e sieno ordinatamente Di , D2 , ... , D„ 

 i complementi algebrici degli elementi dell'ultima sua linea, Ei , E2 ... , E„ 

 quelli degli elementi della penultima. Applicando a Di la nota regola di 

 derivazione d' un determinante, si trova come risultato la somma di n — 1 

 determinanti, di cui n — 2 sono identicamente nulli, e l'ultimo è — E; ; 

 sicché si ha: 



D'i = — Ei = 1 , 2 ... , ?z) . 

 Ora per una proprietà generale dei determinanti si ha: 



Di yi + D2 2/2 + - + D„ = 0 , (a) 

 e per una proprietà dei determinanti nulli: 



Ei E2 



d;^ di~'"~ D^' 



Di ~ D2 "* D„ ■ 



D? + DiH l-Dl = M% 



si ha di qui facilmente: 



(i = 1 , 2 , ... , 7z) . 



Poiché M non è mai nulla nell' intervallo ab , potrà integrare l' espres- 

 sione precedente per tutto quest' intervallo, e si avrà, indicando con ki una 

 costante : 



^ = = 1 , 2 , ... , , 



quindi sostituendo nella {a) e sopprimendo il fattor comune M: 



kx yi + 2/2 + - + -^n 2/« = 0 , 

 per tutti i punti dell'intervallo ah. 



ossia : 



Posto: 



Di 



D2 



e quindi: 



MD^ — Di 



= 0 



