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Se supponiamo la condizione meno restrittiva che le Dj non possano esser 

 nulle insieme in alcun punto interno dell' intervallo ab , V integrazione potrà 

 farsi, e quindi la relazione (/?) sussisterà, per qualunque intervallo contenuto 

 completamente nell'interno di ab. 



Importa osservare che il teorema di Peano può, nei casi più ordinari, 

 sostituire abbastanza bene quello più generale riconosciuto inesatto. 



L' insieme dei posti-zero d'una funzione continua è chiuso, cioè contiene 

 i propri punti-limiti. Se inoltre una funzione è sviluppabile in serie di Taylor 

 neir intorno di qualunque punto d' un intervallo a b , esclusi tutt' al più gli 

 estiremi, l' insieme I dei punti dell' intervallo in cui essa si annulla non può 

 avere altri punti-limiti che gli estremi dell' intervallo stesso ; infatti, se un 

 punto interno P fosse punto-limite di I, esso apparterrebbe ad I, ed è facile 

 vedere, coli' applicazione ripetuta del teorema di Rolle, che in P sarebbero 

 nulle, oltre la funzione, anche le sue derivate di tutti gli ordini, sicché la 

 funzione sarebbe nulla in tutto l' intervallo. Ne segue che in ogni intervallo 

 contenuto neW interno ài ab h compreso soltanto un numero finito di posti- 

 zero della funzione. 



Dopo ciò supponiamo le n funzioni yi , ... , tjn sviluppabili in serie 

 di Taylor nell' intorno di ogni punto d' un certo intervallo a b , esclusi tutt' al 

 più gli estremi. La stessa proprietà apparterrà alle loro derivate di tutti 

 gli ordini, ed anche — come è facile vedere — a tutti i minori del loro 

 wronskiano W, ed alla funzione M. Se dunque W è nullo in tutto l' inter- 

 vallo ab , 0 M. sarà parimenti nullo in tutto ab , o avrà soltanto un numero 

 finito di posti-zero in qualunque intervallo interno ad ab. 



Nel secondo caso, se ab' è un intervallo qualunque interno ad ab, i 

 posti-zero di M in esso contenuti lo divideranno in un numero finito di tratti, 

 per tiitti i punti di ciascuno dei quali avrà luogo una relazione lineare tra 

 le y. Tale relazione potrà naturalmente essere diversa pei diversi intervalli 

 come ab. Così, nell'esempio di Peano, si ha y^ — ?/2 = 0 in ogni tratto 

 posto a destra dell'origine, -f- I/2 = 0 in ogni tratto posto a sinistra di essa. 



Nel primo caso invece saranno nulle nell'intero intervallo tutte le Di, 

 D2,... ,Dn. Designiamo con D;i,e il minore (preso con segno opportuno) otte- 

 nuto sopprimendo le colonne A-esima e /^-esima nella matrice formata colle 

 prime n — 2 linee di W. Supposto che non tutti i determinanti D/ì^ sieno nulli 

 in ogni punto dell' intervallo ab , e p. es. che non lo sia D„_i , « , il wronskiano 

 D„ delle funzioni y^ ^y^, ... ,yn-\ sarà nullo in tutto l'intervallo ab senza 

 che lo sieno tutti i complementi algebrici degli elementi della sua ultima 

 linea ; e quindi ogni intervallo interno ad ab potrà dividersi in un numero 

 finito di tratti in ciascuno dei quali avrà luogo una relazione lineare tra 

 le 2/1 , ?/2 , ... , ?/„-i . Se le Dm sono nulle in tutto l'intervallo ab, si dovrà 

 passare ai minori d'ordine n — 3 , e così di seguito. Infine, se tutti i minori 

 di secondo ordine formati colle due prime linee di W sono nulli in tutto 



