— 232 — 



Applicando lo SYÌluppo trovato alla formula (7), (p essendo preso in un 

 campo funzionale conveniente, la cui considerazione, per altro, non ha im- 

 portanza in ciò che segue, si avrà per lo sviluppo 



(8) F-V = ZZ«ifl>ie-'9', 



>j=0 »"=1 



in cui il coefficiente di 



n 



(8') X, = J_a>i e-' fli 



i=l 



rimane manifestamente inalterato se alle «i , (»2 , ... &)„ si sostituisce un altro 

 qualunque sistema fondamentale d' integrali di F e alle /lIi , , ... jWn il 

 sistema corrispondente di moltiplicatori, le coi e le ,Uj essendo fra loro contro- 

 gredienti ('). Da questa proprietà invariantiva delle A,, e dall'applicazione di 

 un noto teorema di Appell, il quale è stato dato per le forme differenziali 

 lineari (-), ma la cui estensione alle forme lineari alle differenze non presenta 

 la minima difficoltà, risulta che le A„ si possono esprimere razionalmente 

 in funzione dei coefficienti «1 , «2 , — «« della forma F e delle tiui , 6**0:1 > ••• • 

 Queste espressioni si possono calcolare per via ricorrente {^) e siano esse 



(9) 



3. Si faccia ora l' ipotesi che i coefficienti «i , «2 , ... a„ di F tendano, 

 quando x va all' infinito nella direzione dell' asse reale del suo piano e nel 

 senso positivo, ai limiti rispettivi «i , «2 , — . Allora, per un noto teorema 

 del Poincaré (''), gì' integrali dell' equazione (2) sono tali che 



lim 



l^ijo; V -\- 1) 



è uguale al modulo di una delle radici dell' equazione 



(10) 



an r + «n-i 2/"-' -] \-a,y-\-l = 0 



ed in generale, al massimo di questi moduli. Supposto ora che fra le radici 

 (^) Bortolotti, loc. cit. 



(2) Annales de l'École normale, serie II, tomo X, 1881. Cfr. anche Schlesinger, 

 Handbuch der Un. Differentialgleich. Bd. I, pag. 38. Leipzig, Teubner, 1895. 



(3) V. la mia Algebra delle forme lineari alle differenze, parte 3", Mem. dell'Accad. 

 di Bologna, serie V, tomo V, 1895. 



(^) American Journal of Matli., tomo VII, 1884. 



