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I tipi dei piani doppi di genere lineare j/^* = 1 e bigenere P > 1 , 

 sono i seguenti: 



I. Piani doppi con curva di diramazione Cj» , d'ordine 2w(^ > 3) , 

 dotata d'un punto 0 (2w — 4)p'° o (2^^ — 8)p'° e 



1) nessun' altra singolarità 



p„~p,j = n — 2. P = 2?z — 5; 



2) un punto 4?'° distinto da 0 



Pn = Pg~n — 3 P = 2?^ — 6 ; 



3) r coppie di punti 3?'' infinitamente vicini allineate con 0 (che è 

 essenzialmente {2n — 4)f'°) sopra rette facenti parte di €2» 



Pn-=n — 2 — r, pg=:p^opg = 0, p = 2n — ò — r; 



4) r punti 4P'' infinitamente vicini ad 0 {2ii — 4)p'° , 0 r punti 3p" 

 infinitamente vicini ad 0 (2/^ — 3)?'° {'òr <. 2w — 3) 



p^—pg--n—2 — r P = 2» — 5 — 2r ; 



5) r punti 4P'' infinitamente vicini ad 0 (essenzialmente {2n — 4)?'°) 

 ed inoltre /i (>■ 0) coppie di punti 3?" infinitamente vicini ad 0 sopra rette 

 per 0 facenti parte di Czn (4r -\-Sh ^2n — 4) 



p^= Pg = n — 2 — r — h P = 2?z — 5 — 2r — h. 



II. Piani doppi di cui la curva di diramazione si compone di r curve 

 Css con 9 punti s^" comuni (appartenenti ad un fascio di Halphen), ed 

 eventualmente anche {per r , s dispari ed s >■ 1) della cubica C3 che passa 

 pei 9 punti : 



Viene qui designato in generale col simbolo [p] il massimo intero contenuto 

 nel numero q . 



È notevole il fatto mostrato dagli esempi in cui 'P^pg , fatto che 



non ha riscontro per p'^^^ = 1 . 



Si osservino in particolare nella categoria I i piani doppi del tipo 3, 

 di genere 0 0 1 , aventi il bigenere F = n — r 0 risp. P = ;^ — 6 ; il conto 

 delle costanti ne prova l' effettiva esistenza almeno per n^lQ 0 risp. ^ < 27. 



