— 236 — 



Per ^ = 5 si ottiene un piano doppio del tipo 3 che non rientra nelle 

 condizioni dell'enunciato, ma offre esempio di una superfìcie coi generi 

 Pn = — 1 Pg = ^ di cui il bigenere vale P = 1 , la quale non può quindi 

 essere riferita ad una rigata ellittica come le superfìcie note fin qui coi ca- 

 ratteri pn -~ — 1 Pa = ^- 



2. Alla ricerca dei piani doppi che hanno i caratteri assegnati 



(/•> = 1, P>1), 



dobbiamo far precedere alcune osservazioni relative alla determinazione delle 

 curve canoniche e bicanoniche di un piano doppio di cui è data la curva di 

 diramazione C2„ (d' ordine 2ìi). 



Le immagini delle curve canoniche, aumentate di eventuali componenti 

 eccezionali che corrispondono a punti semplici della superfìcie, sono date da 

 curve doppie C„_3 d' ordine n — 3 , assoggettate ad avere opportune singo- 

 larità nei punti multipli di Ca» (')• 



Se la Czn ha punti multipli ordinari, distinti, è facile vedere (-) che 

 ogni punto 2?P^° per essa è (e — 1)?^° per le Gn-z , ed ogni punto (2« -j- 1)p'° 

 di Gin è del pari {i — 1)?'° per le dette C„_3. 



È noto, fino dagli esempi presentatisi al sig. Nòther, che le moltepli- 

 cità imposte alle C„_3 possono aumentare se la Czn ha punti multipli infi- 

 nitamente vicini. 



Volendo ricercare la molteplicità imposta alle Cn-a da un punto 0, 

 multiplo per , a cui sieno infinitamente vicini altri punti niultipli, si 

 faccia nel piano una trasformazione quadratica generale, avente in 0 un punto 

 fondamentale. Allora ad 0 viene a corrispondere una retta fondamentale o , 

 che entra come parte nella trasformata di C2„, e precisamente deve essere 

 contata un numero pari o dispari di volte secondo la molteplicità di 0 per C2„ . 

 Nel primo caso, questa retta a , come componente della curva di diramazione 

 d' un piano doppio può ugualmente esser tolta ; ma nel secondo caso essa 

 figura essenzialmente, una volta, unita alla residua parte C della detta tra- 

 sformata. Ora la C verrà ad avere su a dei punti multipli che corrispondono 

 ai punti multipli di Ca,, cadenti nell' intorno di 0 , ed hanno le stesse mol- 

 teplicità di essi. Queste molteplicità si trovano aumentate di 1 per la C -\- a. 

 Di qui, se si considerano le trasformate delle C„_3 e si ritorna poi alle C«_3, 

 si deduce che le molteplicità che loro impongono i punti multipli di Czw 

 che cadono nell' intorno (di 1° ordine) di 0 , sono da valutarsi come se questi 

 punti avessero per Cj» una molteplicità superiore di 1 a quella effettiva, da 

 cui può resultare che le C„_3 debbano avere nel punto 0 stesso una molte- 

 plicità maggiore di quella innanzi assegnata. Con ciò si è tenuto conto dei 



(') Cfr. il § 5 della mia Nota Sopra le superficie algebriche di cui le curve cano- 

 niche sono iperellittiche. Rendiconti della R. Acc. dei Lincei, 1896. 

 (2) Cfr. Introduzione . . . cap. VI. 



