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punti multipli di Czn che cadono nell' intorno di 1° ordine del punto 0. Se 

 si vuol tener conto dei punti multipli di essa che sono nelF intorno di 2" 

 ordine, occorre far uso di una trasformazione quadratica applicata a C pren- 

 dendo come punto fondamentale uno dei punti multipli che la C ha su a. 

 Applicando successivamente questo processo di trasformazione, fino a scio- 

 gliere la singolarità della nel punto 0, e ritornando sempre alla C2„, 

 è facile determinare in ogni singolo caso le molteplicità che vengono imposte 

 alle C,i_3 in 0 e nei punti multipli infinitamente vicini ad esso. Ma l' espres- 

 sione generale di queste molteplicità, quando è data la composizione del 

 punto 0, si presenta un po' complicata, soprattutto nel caso in cui i punti 

 multipli dell'intorno di 0 si succedano sopra rami non lineari. 



Pel nostro scopo basta indicare il seguente resultato relativo al caso 

 in cui i punti multipli di Gzn , infinitamente vicini ad ogni punto multiplo 

 proprio 0, si trovino sopra rami lineari passanti per 0. 



Indicando con r , s , t , ... le molteplicità dei punti A , B , C ... di dn 

 che si succedono sopra un qualsiasi ramo lineare avente l' inizio in un punto 

 rP'° 0, e facendo uso del simbolo [^] per denotare la parte intera del nu- 

 mero Q , si ha : 



Le C„_3 sono assoggettate alle condizioni di avere 



i rami lineari di cur^a per A , B , abbiano complessivamente riunite tante 

 intersezioni colle Cn-s); 



Di qui si ricava in particolare che, nelle ipotesi introdotte : ogni punto 

 2?P^° per ha sempre la molteplicità i — 1 per le Gn-3 e non maggiore ; 

 ogni punto (2? + l)pi° di Cj» risulta (z — 1)?'° 0 «pi" , al più, perle C„..3. 

 Si ricava ancora che le singolarità più semplici della Can , abbassanti di 1 

 il genere (numerico) del piano doppio, sono : un punto 4p'°, 0 due punti 3?" 

 infinitamente vicini, ossia un punto [3,3]. 



Passando ora alla determinazione delle immagini delle curve bicanoniche 

 sul piano doppio che ha come curva di diramazione G-zn , osserveremo che 

 qui sono anzitutto da distinguere due casi, secondochè le dette immagini B 

 sono curve doppie e quindi d' ordine doppio delle Gn-3, ossia d' ordine 2n — 6 

 (B = C2„-6), oppure curve semplici d' ordine in — 12 (B = C4n-i2) ; nel 2° caso 

 esse non formano più, generalmente, un sistema lineare. 



Le condizioni di molteplicità delle immagini B delle cm've bicanoniche, 

 relative ai punti multipli di Cz», discendono dal fatto che il sistema bica- 

 nonico è doppio del canonico; quindi un punto ordinario 2-/p'° 0 (2? -f- 1)p'° 



1) la molteplicità - — 1 in A; 



2) la molteplicità complessiva 



in A , B (per modo che 



3) la molteplicità complessiva 



