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di Gin sarà 2{i—iy^'> per le B = C2n-6 (doppie), e 4(f— 1)?'" per le 

 B = C4M-12 (semplici). Ma occorrono speciali riguardi quando si hanno punti 

 multipli infinitamente vicini. Così se la lia un punto [3 , 3] (pel quale 

 le immagini C„_3 delle curve canoniche debbono passare semplicemente) le 

 B = C2H-6 dovranno passare semplicemente per i due punti tripli infinita- 

 mente vicini che lo compongono e le B = Gin-n dovranno passarvi doppia- 

 mente (^). E per noi basta limitarci all' osservazione relativa a questo caso. 



3. Veniamo ora alla determinazione dei piani doppi pei quali 



^") = 1 P>1. 



Le superficie corrispondenti posseggono oo^-' curve bicanoniche di cui il ge- 

 nere vale 3j9<'^ — 2 — 1 ; queste curve costituenti un sistema lineare sono 

 dunque composte colle curve ellittiche K di un fascio, giacché F esistenza di 

 un sistema lineare oo^ di cm-ve ellittiche irriducibili porterebbe l' annullarsi 

 del genere e del bigenere della superficie, la quale anzi risulterebbe {^) ra- 

 zionale 0 riferibile ad una rigata ellittica. 



Ora la superficie F che è immagine di un piano doppio di generi j)^'' = 1, 

 1, è trasformata in sè stessa da un'involuzione (razionale) I, la quale 

 trasformerà in sè stessa ogni curva K del fascio nominato, 0 scambierà fra 

 loro le curve K accoppiandole. In ogni caso le cm-ve K avranno come corri- 

 spondenti, sul piano doppio, le curve L di un fascio, e le L saranno razio- 

 nali (I) 0 ellittiche (II). 



4. Poniamoci nel primo caso. Effettuando all'occorrenza una trasforma- 

 zione birazionale del piano si può i}) supporre ridotto il fascio delle L ad 

 un fascio di rette, avente un certo centro 0. Allora la curva di dirama- 

 zione C2n del piano doppio avrà in 0 la molteplicità 2« — 4, 0, in partico- 

 lare, 2n — 3. Si può anche supporre la G^n già ridotta (con trasformazioni 

 quadratiche speciali aventi un punto fondamentale in 0) ad avere soltanto 

 punti multipli distinti da 0, 0 pimti multipli infinitamente vicini ad 0 che 

 si succedono sopra rette per 0. Infine si può supporre che la Gin abbia l' or- 

 dine minimo tra quelle che si ottengono colle trasformazioni suindicate. E 

 appena necessario avvertire che in C2» debbono sempre essere comprese, una 

 volta, quelle curve fondamentali (che nascono da punti del piano nelle tra- 

 sformazioni precedenti) le quali verrebbero a figurare in essa un numero di- 

 spari di volte. 



(1) Cfr. Castelnuovo, Sulle superficie di genere zero, § 15. 



(2) Castelnuovo, Sulle superficie algebriche che contengono una rete di curve ipe- 

 rellittiche. Rendiconti della R. Acc. dei Lincei, 1894. 



(3) Nother, Ueber Flàchen, loelche Schaarcn ratioaalcr Curven besitzen. Blathem. 

 Annalen, IH. 



