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Date le ipotesi precedenti le singolarità di €2» che possono influire ab- 

 bassando il genere del piano doppio, sono soltanto (cfr. n. 2) : se 0 è {2n — 4)p'° 

 dei punti 4p'' 0 dei punti [3 , 3] (coppie di punti tripli infinitamente vicini) 

 se 0 è {2n — 3)p'" dei punti tripli infinitamente vicini ad 0 0 dei punti [3,3]; 

 ciascuna di queste singolarità abbasserà di 1 il genere del piano doppio, 

 poiché i gruppi ài n — 3 rette per 0 rappresentanti le curve canoniche, do- 

 vranno contenere come parte fissa la retta congiungente 0 con un silfatto 

 punto singolare. 



Ma, per la irriducibilità ad ordine minore della Ca,, , dovranno essere 

 osservate le seguenti condizioni: 



a) Se la Cs^ ha un punto 4p'° A distinto da 0, essa non possiede, 

 oltre A ed 0, alcun punto singolare influente sul genere. Infatti un tal punto 

 non potrebbe essere fuori di OA, e d' altra parte neppure su OA senza che 

 questa retta si staccasse due volte da e dovesse quindi esser tolta dalla dn 

 stessa. 



b) Se la Gin ba un punto 4p'<' infinitamente vicino ad 0, non può 

 avere punti [3 , 3] distinti da 0. 



c) La C 2n non può avere due punti 3p'' infinitamente vicini, distinti 

 da 0 e non allineati con esso : se 0 è {2n — 3)p''' la Gin non può avere 

 neppure un punto [3 , 3] infinitamente vicino ad 0 (due punti 3?" consecu- 

 tivi su una retta per 0) giacché la sua congiungente con 0 si staccherebbe 

 due volte da G^,, e dovrebbe quindi essere soppressa. 



Kestano così i seguenti casi tipici: 



1) Gin con 0 {2n — 4)p^° 0 {2n — 3)p^'', senza altri punti multipli 0 

 con un punto 4?'° A distinto da 0. 



Le curve canoniche sono date da tutti i gruppi di n — 3 rette per 0, 

 0 risp. dai gruppi di n — 4 rette aumentati della parte fissa OA ; quindi 



Pg = Pn = n — 2 0 risp. pg =pn = n — 3 . 



In quanto alle curve bicanoniche, esse sono composte colle curve ellit- 

 tiche K rappresentate doppiamente sopra le rette per A; esse vengono date 

 dunque dai gruppi di 2{n — 3) rette per 0 di cui fa parte, eventualmente, 

 la OA contata due volte, perciò 



-p = 2n — b 0 P = 2?2— 6. 



2) Czn con 0 {2n — 4)p'°, r punti 4p'' infinitamente vicini ad 0, h punti 

 [3 , 3] infinitamente vicini ad 0 (su altrettante rette per 0 che si distac- 

 cano da Czw), dove 



4r -|- <_ 2>z — 4 . 



Le rette per 0 contenenti i punti 4?'' si staccano una volta da tutti i 

 gruppi canonici Gn-z di n — 3 rette per 0 e due volte dai gruppi bicano- 



