— 302 — 



Matematica. — Sopra alcuni gruppi continui imprimitivi di 

 trasformazioni puntuali dello spazio. Nota di Gino Fano, pre- 

 sentata dal Socio Cremona. 



1. Nel 3° voi. della Theorie der Transformationsgruppen del sig. Lie 

 (Abth, II, Kap. 7, 8) sono determinati i vari tipi a cui possono ri- 

 dursi, mediante trasformazioni puntuali arbitrarie, tutti i gruppi continui 

 primitivi di trasformazioni puntuali dello spazio, ed alcune categorie di gruppi 

 imprimitivi di queste stesse trasformazioni. D' altra parte, in una Memoria 

 comune del sig. Enriques e mia (') e in due miei lavori successivi (') è 

 stata data una classificazione completa dei gruppi continui di trasformazioni 

 cremoniane dello spazio (dal punto di vista delle trasformazioni stesse) ; sono 

 stati cioè determinati i tipi a cui questi ultimi gruppi possono ridursi, me- 

 diante trasformazioni anche cremoniane (birazionali). Fra i risultati di queste 

 due ricerche deve passare evidentemente la relazione seguente: Quei gruppi 

 tipici di trasformazioni 'puntuali che si compongono (come avviene per la 

 maggior parte di quelli trovati dal sig. Lie) di trasformazioni cremoniane, 

 devono anche comparire fra i gruppi tipici di queste ultime trasforma- 

 zioni; ma ad essi 'possono aggiungersene, in tal caso, degli altri (bivazio- 

 nalmente distinti dai primi, ma riducibili ad essi, o a qualcuno degli altri 

 tipi di gruppi puntuali, con trasformazioni non cremoniane). 



Quanto ai gruppi primitivi, fu già mostrato in uno dei miei lavori cit. (^), 

 che i gruppi tipici di trasformazioni puntuali trovati dal sig. Lie (che sono 

 soltanto gruppi proiettivi, più il gruppo oo di tutte le trasformazioni con- 

 formi) si incontrano pure nella classificazione dei gruppi cremoniani; e che 

 in quest' ultima classificazione compare altresì un gruppo tipico ulteriore — 

 il gruppo 00 ^ delle trasformazioni conformi che mutano in sè una sfera di 

 raggio non nullo — , il quale può ridursi con una trasformazione (2,1) (ra- 

 zionale in un senso solo) al gruppo delle trasformazioni proiettive che lasciano 

 fissa una quadrica non degenere. 



Avendo ora completata (^) anche la classificazione dei gruppi imprimi- 

 tivi di trasformazioni cremoniane dello spazio, credo opportuno mettere in 

 relazione i risultati da me ottenuti in proposito con quelli del sig. Lie sui 

 gruppi imprimitivi di trasformazioni puntuali. Vedremo così di quali trasfor- 



(1) Annali di Matera., s. 2», t. 26 (1897). 



(2) Atti della E. Acc. di Torino, voi. 33" (1898); nonché la Memoria: / gruppi 

 di Jonquicres generalizzati, che trovasi in corso di stampa presso la stessa Accademia. 



(3) Atti della E. Acc. di Torino, voi 33". Cfr. anche la Memoria cit. del sig. Enri- 

 ques e mia, § 6. 



(■*) Nella Meni, cit., / gruppi di Jonquières generalizzati. 



