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inazioni geometriche si compongano i gruppi tipici del sig. Lie, pei quali 

 r illustre Autore si è limitato ad assegnare le trasformazioni infinitesime ge- 

 neratrici; e vedremo pure come alcuni di questi gruppi siano o possano 

 ridursi a sottogruppi dei rimanenti. 



2. Il sig. Lie esaurisce la determinazione dei gruppi continui imprimi- 

 tivi di trasformazioni puntuali dello spazio nei due casi seguenti: 



I. Gruppi che trasformano in sè un sistema oo ^ di superficie, e sub- 

 ordinano sopra ciascuna superficie del sistema un gruppo primitivo ; 



II. Gruppi che trasformano in sè una congruenza di linee, e operano 

 in modo primitivo sopra questa congruenza. 



Nel primo caso egli trova 12 tipi diversi, che distingue coi numeri pro- 

 gressivi [1] . . . [123 dei §§ 38-40. E a questa stessa condizione I sod- 

 disfanno, fra i gruppi cremoniani tipici da me incontrati, soltanto i due se- 

 guenti, con alcuni loro sottogruppi ('): 



1°. Gruppo 00^1 delle trasformazioni quadratiche che mutano in ?,è 

 stesso il sistema lineare 00 ^ delle quadriche passanti fer una retta fissa 

 (asse di un fascio invariante di piani) e per un punto fisso fuori di questa 

 re^^tì! . (centro di una stella invariante di rette e piani). 



2°. Gruppo 00 ^""^^ delle trasformazioni di ordine n (^ 1) che mu- 

 tano in sè stesso il sistema lineare 00 ""^^ dei coni di ordine n aventi una 

 data generatrice {n — 1)p'^ e gli stessi n — 1 piani tangenti lungo questa ge- 

 neratrice. La detta generatrice è asse di un fascio invariante di piani ; e ogni 

 punto di essa è vertice di 00 "-^^ coni di quel sistema. 



Ora, il primo di questi gruppi tipici (completi) coincide col gruppo [10] 

 del sig. Lie (op. e voi. cit., p. 153) determinato dalle trasformazioni infini- 

 tesime (in coordinate cartesiane a; ,y , s): 



p ,q,xp ,xq,ijp ,yq,x{xp-\-ijq) ,y {xp -|- yq) 

 r , sr , 



(1) E precisamente quei sottogruppi che operano ancora in modo primitivo sopra 

 ogni piano del fascio invariante. — Non volendo presupporre noti tutti gli sviluppi con- 

 tenuti nella mia Mem. cit., per poi scegliere, fra i vari gruppi tipici, quelli che soddis- 

 fanno alle condizioni qui imposte, basta osservare (cfr. Enriques-Fano, Mem. cit., § 12) 

 che, se sopra ogni superficie del sistema invariante 00 1 viene subordinato un gruppo pri- 

 mitivo, queste superficie sono certo algebriche e razionali, e il loro sistema è trasforma- 

 bile birazionalmente in un fascio di piani. E poiché in ciascun piano di questo fascio 

 risulterà invariante una rete omaloidica di curve, dovremo trovarci nel caso studiato al 

 cap. IV della mia Memoria; si tratterà cioè di un gruppo equivalente a un gruppo pro- 

 iettivo sopra una varietà M3 contenente 00 ' piani, la quale potrà ridursi ad essere (come 



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ivi è dimostrato) una M3 con co ^ direttrici rettilinee, oppure un cono, in questo caso 

 certo di 2* specie. Eappresentando opportunamente quella Mg e questi coni sullo spazio 

 Ss, i gruppi delle loro trasformazioni proiettive danno luogo rispettivamente ai due tipi di 

 gruppi cremoniani sopra indicati. 



