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alle quali corrispondono le equazioni finite: 



' _ ~f~ % ~]~ ^ ' aicr 4~ ~\~ '^i CCS -\- ^ 



^ ttiX -{- b^y -\- Ci ^ ai.x -\-b2y-\-C2 " y3-\-d 



colle due condizioni [abi c%~\ — a d — ^ y = \. Questo gruppo trasforma in- 

 fatti in sè stesso il sistema lineare oo ^ di paraboloidi iperbolici : 



z {ax -\- by) -\- ex -\- cly -\- ez f — 0 



aventi un piano direttore parallelo al piano xy, e l' altro (di giacitura va- 

 riabile) parallelo all' asse z. Lo stesso gruppo opera proiettivamente sul fascio 

 (improprio) dei piani paralleli al piano xy, e sulla stella (impropria) delle 

 rette e piani paralleli all'asse z\ esso risulta anzi dalla composizione dei 

 gruppi proiettivi totali (rispett. oo ^ e oo *) di queste due forme. 



I gruppi [7] , [4] , [1] del sig. Lie sono sottogruppi del precedente, ot- 

 tenuti col fissare rispett. uno, due (infinitamente vicini) o tutti i piani 

 z = cost. 



II secondo dei nostri gruppi tipici completi coincide invece col gruppo 

 [12] del sig. Lie, determinato dalle 2n-\-9 trasformazioni infinitesime: 



xq ,xp — yq , yp , xp -\- yq , r , zr , z^ r -{- nz {xp yq) 

 p , zp , z^p , . . . . Z"p 

 q , zq , z^q , . . . . z"q 



alle quali corrispondono le equazioni finite: 



, ccz-\- li , ax -\- by ~\- (fnjz) , ex -|- dy -j- ipn{z) 



dove si può ritenere aò — /Jy = 1, e ^„ {z) , (-) sono polinomi affatto ar- 

 bitrari di grado n in z. Questo gruppo trasforma infatti in sè stesso il sistema 

 lineare oo dei cilindri di ordine n (colle generatrici parallele al piano xy) : 



Xx + ?/ 4- fn [z) = 0 



dove ancora fn {z) è un polinomio generico di grado n in z. I detti cilindri 

 hanno la retta all' infinito del piano xy come generatrice {n — 1)?^% e gli w — 1 

 piani tangenti lungo questa generatrice coincidono tutti (il che non costituisce 

 una particolarità dal punto di vista delle trasformazioni birazionali), e coin- 

 cidono precisamente col piano all' infinito. 



I gruppi [11], [9], [8] sono sottogruppi del precedente, e il primo ne 

 è anzi sottogruppo invariante (corrispondente al caso ad — bc — 1). 



Infine, i gruppi [5] e [6] del sig. Lie contengono trasformazioni infi- 

 nitesime del tipo: 



