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dove le m sono numeri interi non negativi, e le /l sono costanti arbitrarie. Questi 

 gruppi si compongono di trasformazioni (algebriche e) birazionali soltanto 

 quando si annullino tutte le A ; e possono anche ridursi a tali quando siano nulli 

 tutti gli esponenti w, e le A siano numeri interi; ma in ambo i casi si 

 hanno soltanto sottogruppi del gruppo [12]. Altrettanto dicasi dei gruppi 

 intransitivi [2] e [3], nelle cui trasformazioni infinitesime compaiono, come 

 moltiplicatori di ^ e delle funzioni arbitrarie Z {z), che, per gruppi cre- 

 moniani, sarebbero razionali e si potrebbero anche supporre intere (op. e 

 voi. cit., p. 147). 



Esclusi pertanto questi casi di gruppi non cremoniani nè riducibili a 

 tali, tutti gli altri fra i tipi [1] . . . [12] àel sig. Lie coincidono con 

 uno dei nostri due gruppi cremoniani tipici o con uno dei loro sotto- 

 gruppi. 



3. Passiamo ora ad esaminare i gruppi continui che lasciano fissa 

 una conseguenza di linee, ed operano su di essa in modo primitivo. Questi 

 gruppi, ove si compongano di trasformazioni cremoniane Q), si riducono bi- 

 razionalmente a uno dei tre tipi seguenti (e loro sottogruppi) : 



1) Lo stesso gruppo 1° (oo i^) della categoria precedente ; 



2) gruppo oo * delle tras formazioni cubiche che mutano in sè stesso 

 il sistema lineare oc \ di grado 6j delle superficie del 3° ordine passanti 

 per una cubica sghemba {a), e aventi un dato punto doppio (P) (centro di 

 una stella invariante di rette e piani) posto sopra quella cubica. Questo 

 sistema lineare oo'' è somma della stella di piani P e della rete, pure inva- 

 riante, delle quadriche passanti per la cubica e; 



3) gruppo di dimensione ~^ ^){^-\-'^) _|_ g ^^^^ trasformazioni 



di ordine n che mu'.ano in sè stesso il sistema lineare co ^ delle su- 

 perficie di ordine n aventi un dato punto (n — l)i'^° — centro di ima stella 

 invariante di rette e piani — e imo stesso cono tangente di ordine n — 1 in 

 questo punto. 



Nel caso di trasformazioni semplicemente puntuali, il sig. Lie ha tro- 

 vati i tipi [13] .... [33] dei §§ 42-44, in numero totale di ventuno. Fra 

 questi, i tipi [13] ... . [26] sono tutti (o possono ridursi a) sottogruppi dei 

 rimanenti sette; non esclusi nemmeno i gruppi [16] e [24], pei quali la detta 



(') Nella Mem. cit. del sig. Enriques e mia (§§ 15-16) è dimostrato che in questO' 

 caso la congruenza invariante si compone necessariamente di curve algebriche e razionali, 

 ed è essa stessa algebrica, razionale, del 1° ordine, e trasformabile birazionalmente in una 

 stella di rette. La determinazione dei vari tipi corrispondenti a questo caso trovasi nel 

 cap. VII della mia Mem.: / gruppi di Jonquières generalizzati. 



