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proprietà non risulta evidente, ma dei quali è dimostrato altrove (') come 

 possano ridursi a gruppi proiettivi trasformanti in sè un complesso lineare 

 di rette e un punto col suo piano polare rispetto al complesso ; e quindi a 

 sottogruppi di [32], corrispondentemente al caso n=l. 



I gruppi [273 .. . [33] sono quelli che operano in modo 00 * sulla con- 

 gruenza di linee invariante. Fra essi, il [33] coincide col gruppo [10], ossia 

 col gruppo 00 " di trasformazioni quadratiche già considerato, e in questo è 

 contenuto come sottogruppo il [28]. 



II gruppo [27] determinato dalle otto trasformazioni infinitesime: 



p , q , wq -\- r , xp — yq — 2;r , yp — s-r , xp -\- yq 

 x^p -\- xyq -\-{y — xs)r , xyp + V^i ~\~ ^{y — ^^)''^ 



alle quali corrispondono le equazioni finite: 



' _ ax -\- by -\- c _ , Uix -\- h^y -f- C\ 



^ a%x -\- hiy -\- c ' ^ a-ix + b-iy -\- Ci 



— B + C(y — xz) 

 — Ai^ + — Qjx{y — xz) 



dove le lettere maiuscole indicano i subdeterminati di 2° ordine del deter- 

 minante [« hi Ct\ (che può snpporsi= 1), è birazionalmente identico al 2° dei 

 nostri gruppi cremoniani tipici. Esso trasforma infatti in sè stessa la stella 

 (impropria) di piani: 



+ /Sy + y = 0 



nella quale subordina il gruppo proiettivo totale 00* ; e trasforma anche in 

 sè la rete di paraboloidi iperbolici: 



y — xz ^ -\- n = ^ 



e quindi il sistema lineare 00'' di superficie cubiche, somma dei due pre- 

 cedenti sistemi cx) ^ : 



(«1 X ^ §i y){y — xz) -|- («2 ^ -(- y) 5 + "3 + /?3 y + + — 0. 



L' unica differenza fra il gruppo 2° dianzi definito e quest' ultimo con- 

 siste in ciò : che la rete delle quadriche passanti per la cubica è ora so- 

 stituita da quella dei paraboloidi iperbolici y — xz -\- ^ z 11 =^ aventi 

 a comune le rette all' infinito dei piani xy e yz, e raccordati anzi lungo la 

 prima di esse; sicché la congruenza delle corde di e risulta sostituita dalla 

 congruenza lineare speciale delle rette (parallele al piano xy) intersezioni 



(') Theorie der Transformationsgruppen, voi. II, § 109, p. 445. La riduzione di 

 cui sopra si ottiene mediante la sostituzione: Xi = :v , f/i = y , = — "^^2/- 



