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variabili di questi paraboloidi : o anche, si può dire, la cubica cr si è spez- 

 zata in tre rette, due delle quali, infinitamente vicine (le direttrici di quella 

 congruenza lineare speciale), si appoggiano alla terza. Ora tutto ciò è affatto 

 inessenziale; e lo prova il modo stesso in cui, nella mia Mem. cit. (n. 23), 

 fu costruito il gruppo 2° di questa categoria; appoggiandosi soltanto cioè 

 sul fatto che, oltre alla stella P di rette e piani, fosse invariante una se- 

 conda congruenza del 1° ordine, composta di linee contenute rispett. nei piani 

 di quella stella [una per ciascun piano), e unisecanti i raggi della stella 

 contenuti in detti piani. A questa condizione soddisfanno tanto la congruenza 

 delle corde della cubica cr passante per P, quanto una qualsiasi congruenza 

 lineare, anzi ogni congruenza di rette di P classe rispetto alla quale P sia 

 punto generico ('). 



Il gruppo [32] determinato dalle (^izh-iX!L"ÌZ_:l) _|_ 9 trasformazioni 

 infinitesime : 



p , q , xq , xp — yq , yp , xp -\- yq , x^p -f- xyq + nxsr , xyp -f- y^q + nysr 

 zr x^y'^r -}- = 0 , 1 , 2 , . . . w) 



alle quali corrispondono le equazioni finite: 

 ^ , _ ax -\-hy -\- c _ , a^x -f- b^y -\- Ci _ ^, 2 -{- ^nj^cy) 



aix -\-hìy ^ c%' a^x -\- b^y c^' {azX -\- bìy -\- dY 



dove ^>„ è un polinomio aifatto arbitrario di grado ìi nelle variabili x ,y , 

 coincide (per n > 0) col 3° dei nostri gruppi cremoniani tipici (per n~0 

 si ha invece un sottogruppo di [33]). Esso trasforma infatti in sè stesso il 

 sistema lineare di superficie di ordine n rappresentato dall'equazione: 



z = F„ {x y) 



dove F„ è pure un polinomio qualsiasi di grado n m x ,y: tale sistema, di 



dimensione — ■ — — — — , si compone appunto delle superficie di ordine n 



che hanno il punto all'infinito dell'asse z come {n — 1)p'°, e uno stesso cono 

 tangente in questo punto (costituito precisamente dal piano all' infinito con- 

 tato n — 1 volta). 



Degli altri gruppi trovati dal sig. Lie, il [30] è sottogruppo invariante 

 del precedente, con un solo parametro di meno (e corrisponde al caso 

 \j(,bi c^ = l); e il [31] è un gruppo proiettivo 00^ con un punto fisso e 

 un piano fisso che non si appartengono, sottogruppo quindi di [32] corrispon- 



(') Cfr. anche la prima nota al n. 28 della Mem. stessa. 

 Eendicon-ti, 1898, Vol. VII, 1° Sem. 



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