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dentemente al caso w = 1. Infine il gruppo [29], che contiene le opera- 

 zioni non algebriche generate dalle trasformazioni infinitesime 



x'^p + xyq +-|- xr , xyp + y^q-\--^yr, 



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si riduce a un sottogruppo invariante di [31] colla sostituzione ^— -— log/. 



Concludiamo pertanto : / tipi [13] . . . [33] del sig. Lie coincidono tutti 

 con uno dei tre gruppi cremoniani tipici di questa categoria 11^ o con 

 un loro sottogruppo, 



4. Per gli altri gruppi imprimitivi di trasformazioni puntuali (quelli 

 cioè che lasciano invariata una congruenza di linee e un sistema oo ^ di su- 

 perficie appartenenti a questa congruenza) il sig. Lie si limita a indicare 

 per quale via si possa giungere a determinarne tutti i tipi. In particolare, 

 nel caso di un gruppo il quale operi in modo oo ^ sopra ciascuna linea della 

 congruenza invariante — supposta trasformata questa congruenza (mediante 

 una trasformazione puntuale) nella stella di rette x = cosi, y = cost. — egli 

 trova che il gruppo può ridursi a contenere le sole tre trasformazioni infi- 

 nitesime r ^zr ,z^r , più altre i cui simboli sono del tipo : 



ì {x,y) p + ri {x,y) q 



dove la ? può anche supporsi funzione della sola x (op. e voi. cit., p. 172-73). 

 Le equazioni finite del gruppo avranno allora la forma : 



x' = f{x ,y ,a,b , ...) ; y' =- (p{x , y , a , b , ...) ; / = 



(dove / non contiene y, se questa non compare nelle ; e sarà quindi inva- 

 riante il fascio dei piani g = cost., ossia un sistema co ^ di superficie non 

 ap)partenenti alla congruenza invariante considerata. Il gruppo proposto 

 potrà dunque ottenersi (dal punto di vista gruppale) per composizione dei 

 due gruppi (affatto indipendenti l' uno dall' altro) subordinati nella congruenza 

 invariante e in quest' ultimo sistema oo ' di superficie. — Questa proprietà 

 sussiste naturalmente anche nel caso di un gruppo cremoniano; e acquista 

 anzi allora im' importanza maggiore e un significato molto più preciso, per- 

 chè la riduzione di quella congruenza di linee e di questo sistema di super- 

 ficie rispett. a una stella di rette e a un fascio di piani può ottenersi con 

 una trasformazione anche cremoniana (cfr. il n. 7 della mia Memoria: / 

 gruppi di Jonquières generalizzati); sicché, ciò che prima era soltanto 

 una proprietà di struttura del gruppo, diventa ora una proprietà di un gruppo 

 cremoniano, in relazione alla geometria delle trasformazioni cremoniane. 



