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Corrispondentemente a ciascuno dei casi a) , b) esiste un unico gruppo 

 completo, rispett. oo'^ e oo^", nel quale tutti gli altri gruppi rispett. pro- 

 iettivi e conformi sono contenuti; vale a dire: 



Il gruppo di tutte le trasformazioni proiettive^ generato dalle 15 

 trasformazioni infinitesime ('): 



p , q , r, 



[1] xp , xq , xr , yp , yq , yr , zp , zq , zr , 



x{xp -{- yq -{- zr) , y{xp -\- yq zr) , z{xp -]r yq -\- zr) ; 

 e il gruppo di tutte le trasformazioni conformi, generato dalle 10 tras- 

 formazioni infinitesime (^): 



p , q , r , xq — yp , yr — zq , zp — xr 

 [2] ^p + yq-\- zr (= U) 



2x'\5 — {x^-\-y^-{-2^)p ; 2y\i — {x^ -{- y^ z"") q ; 2s\] — {x^-\-y^^z'')r. 



I gruppi di Jonquières generalizzati sono stati ricondotti in una mia 

 recente Memoria a dodici tipi diversi di gruppi completi (non contenuti 

 cioè in altri più ampi, nè riducibili a tali). Fra questi tipi, i primi tre hanno 

 a comune la proprietà di trasformare in sè un fascio di piani e una stella 

 di rette i cui sostegni (asse e centro) non si appartengono, e i tre succes- 

 sivi trasformano in sè una stella di rette, e un sistema lineare di superficie 

 di un certo ordine n aventi nel centro di questa stella un punto {n — 1 )p''' 

 e uno stesso cono tangente (di ordine n — 1). 



Enumeriamo ora tutti questi gruppi (completi), aggiungendo per ciascuno 

 di essi i simboli delle trasformazioni infinitesime generatrici : 



1°. Gruppo 00^1 delle trasformazioni quadratiche che mutano in sè 

 stesso il sistema lineare di quadriche (paraboloidi iperbolici): 



z{ax -\- by) ex dy -\- ez f == 0 . 



Abbiamo già veduto nella mia Nota ultima che questo gruppo è rappresen- 

 tato dalle equazioni finite: 



, _ ax -\- by -\- c ^ , _ axX -|- b^y -|- _ ^, _ az-\- ^ 

 ^ a^x -{-b^y -\- Ci ' ^ a^x -\- b^y -\- Ci '' " yz -{- S 

 (dove \_a bi Cì']^ ad — /?/ = l), e viene generato dalle 11 trasformazioni 

 infinitesime : 



p , q , xp , xq , yp , yq , x{xp + yq) , y{xp -\- yq) , r , zr , z^r. 

 2°. Gruppo 00® delle trasformazioni cubiche che mutano in sè stesso 

 ciascuno di tre diversi fasci di piani (,2; = cost. , ?/ = cost. , ^ = cost.) e 

 quindi il sistema lineare oo'' di superficie del 3° ordine, somma di questi 

 tre fasci: 



axyz -\- byz + czx -j- dxy -\- ex -\- fy -\- gz -\- h = ^ . 



(1) Theorie der Transformationsgruppen, voi. Ili, pag. 124. 

 ^2) Op. e voi. cit., pag. 137. 



(') / gruppi di Jonquières generalizzati, attualmente in corso di stampa nelle Me- 

 morie dell'Accademia di Torino (voi. 48). 



