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Questo gruppo, rappresentato dalle equazioni: 



(dove ajC^j — hìCi=\), può evidentemente generarsi colle trasformazioni in- 

 finitesime : 



[4] f , xf , x'^p ', q , yq , y'^q ; r , zr , s^r. 



3". Gruppo cc"-*-'^ delle trasformazioni di ordine n che mutano in sè 

 stesso il sistema lineare di superficie: 



ay -f fn-i {x)-{-by3-\- z . (pn-i{x) 0 

 dove fn-\ e ^„_i sono simboli di polinomi affatto arbitrari di grado n — 1 

 in X. Questo gruppo è rappresentato dalle equazioni: 



, aiX-\-bi , _ Xy -f- V^n-i(^) , a-iZ -\- bz 



^ ~ cyx+d, ' ^ "~ {cx-^rd.y-' ' ^ ~ c^z-{-dz 



(dove aid], — biCi = aìdi — ^2^2 = 1). E di qui si trae facilmente ch'esso 

 può generarsi colle n-\-7 trasformazioni infinitesime: 



p , xp , x'^p -j- (-^^ — ^)^^y^ 

 [5] yq , q , xq , x'^q , .... ^""^ 



r , zr , z'^r . 



Ciascuno di questi tre gruppi trasforma in sè il fascio di piani z = cost. e 

 la stella di rette x = cost. , y ~ cost. 



Veniamo ora ai tre tipi (4°, 5°, 6°) che lasciano invariata una stella 

 di rette — clie supporremo ancora essere quella delle rette parallele al- 

 l' asse z — , e un sistema lineare di monoidi aventi nel centro (improprio) 

 di questa stella uno stesso cono tangente (qui ridotto al piano all' infinito 

 contato un numero opportuno di volte): 



4°. Gruppo dipendente da - — — — r^^ — — -j- 9 parametri^ che tras- 



forma in sè il sistema lineare di superficie, di dimensione ~^ ^^J^ ~^ ^^ : 



s = ì\{x ,y) 



dove Pn è un polinomio arbitrario di grado n in x ,y. Alle equazioni finite 

 di questo gruppo: 



^ ~ aiX-{- b^y + ^2 ' ^ ~" azx -{-b^y -\- c^ ' ~ {azx + b^y + 

 abbiamo già veduto nella mia Nota ultima che corrispondono le trasforma- 

 zioni infinitesime: 



p ,q ,xq , xp—yq , yp , xp-\-yq , x{xp-^yq-\-nzr) , y{xp-\-yq-]rnzr) 

 [(5] zr , x^y^r {q -\- a =^ 0 ,\ .'i ...n). 



5°. Gruppo dipendente da {m -\- l) {n -\- 1) -\- 1 parametri, che tras- 

 forma in sè il sistema lineare di superficie, di dimensione (m-f-l) (n-}-l): 



^ = -?^'"A(y) + ^"'-A(y)H [-Uy) 



