dove le f sono polinomi di grado n in ?/. Questo gruppo è rappresentato 

 dalle equazioni: 



, a,x-^by , a,x^b^ . _ h-^x'^(p,{y)+x'^-'(f,{y)-\ V^fmiy) 



^ ~ c,x-\-d, ' ^ c^x^d^ ' " {c,x + d,T {02X + do)" 



dove ttidi — biCi = a^d^ — ^2^2 = 1, e le ^ sono ancora polinomi qualunque 

 di grado n in y. 'K di qui si trae facilmente che il gruppo stesso può ge- 

 nerarsi colle (m -\- 1) (n -\- 1) -{- 7 trasformazioni infinitesime: 



p , xp , x{xp -f- msr) ; q , yq , y{yq + nsr) ; 

 zr , xnj r ^ o- = q , 1 , 2 , ... ?z ' 



6°. Gruppo dipendente da -\- {n-\- 1) {l -{-!) -\- m -\- Q pa- 



rametri, che trasforma in sè il sistema lineare di superficie, di dimen- 

 sione m (^"^ + ^) + H- 1) (Z + 1) : 



Z = y^fix) + H h /^-^mn(^) 



dove le f sono polinomi in x di gradi eguali ai rispettivi indici. Le equa- 

 zioni di questo gruppo sono: 



, _ ax-{- b _ , _ -f- 'FJx) _ ^, ^ -j- y"(pi(x) -| [- cp;.^„,„(^) 



^ ~~ cx-i-d ' ^ ~ {cx-j-d)"" ' 



dove ad — bc = l., e e le tp sono ancora polinomi in x , di gradi eguali 

 ai rispettivi indici. Di qui si deducono le trasformazioni infinitesime: 



p , xp , x[_xp -\- myq + -|- mn) ^r] 

 [8] yq , q , xq , x^q , ... x'^q 



gr , x^y r j ^ ^-^ q , 1 , 2 , ... (;ì — (T) w + / . 

 E continuando nell'enumerazione: 



1°. Gruppo 00'^"+^ delle trasformazioni di ordine n che mutano in 

 sè stesso il sistema lineare 00"+^ di cilindri (colle generatrici parallele al 

 piano xy): 



Ix + l^y + fn{z) = 0 . 



Questo gruppo (già incontrato nell' ultima mia Nota) è rappresentato dalle 

 equazioni : 



, ^ + . , _ ax^byA^ (f„{s) , _ ex + dy + xpnjs) 



7z + ^' {rz-\-àr ' y {yz-\-óY 



(essendo ad — §y = V)-^ e contiene le 2n -\- 9 trasformazioni infinitesime : 



xp , xq , yp , yq , r , zr , z'^r -{- nzixp -j- yq) 

 [9] p , zp , z^p , ... s"p 



q , zq , z^q,...z"q. 

 8". Gruppo ce'' delle trasformazioni di ordine m -{- n — 1 che 

 Rendiconti. 1898, Voi. VII, 1° Sem. 46 



