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mutano in sè stesso il sistema lineare oo^+^+i delle superficie d'ordine 

 m-\-n — 1 : 



dove (fm è un polinomio omogeneo di grado m nelle x ,y , Q(fn è un poli- 

 nomio arbitrano di grado n in s. Questo gruppo è rappresentato dalle 

 equazioni : 



^ , ^ {ax 4- bijY . - _ {ax + %)"^' {ex + dy) , _ 



nelle quali sono parametri omogenei le potenze nf^'""" delle a ,b ,c ,d e le 

 potenze w''™' delle « , /? , y , J ; sicché, in un' operazione generica, si può 

 supporre uno dei parametri, ad es. J, eguale all' unità. 



Ponendo a = d = S = \ , b = c = Q , e facendo variare a , /? , y , si 

 hanno oo^ operazioni che risultano generate dalle trasformazioni infinitesime : 



r , , -}- nz{xp + yq) . 

 Ponendo invece a = ó = 1 , ^ = y = b ~ 0 , e facendo variare le a ,c , d , 

 si hanno altre oo^ operazioni, generabili colle trasformazioni infinitesime: 



xp , xq , yq . 



E infine ponendo a = d = a = ó = 1 , ^ — y = c — 0, rimane il gruppo oo' : 

 , {x-^by)'^ , {x-\-by)''-' 



dalle cui equazioni si ricava: 



dcd , dy' , ^ , y'^ 

 db ^ db ^ X 



sicché la trasformazione infinitesima che genera quest'ultimo gruppo avrà 



per simbolo: i / ■,^ 



myp -\-{m — \) — q . 



E r intero gruppo oo'' sarà perciò generato dalle trasformazioni infinitesime : 

 [10] r , zr , s^r -\- m{xp yq) , xp , xq , yq , myp-\-{m — l)-^q. 



9". Gruppo dipendente da ^ "2" ^) — n-\-'m-\-h parametri, che 

 trasforma in sè stesso il sistema lineare di superficie, di dimensione 



ffm-i-^-y'^^ffìm-l H \-<fmn-\\ — («^+1) ^+«oy"+«l«/""' H h 



dove le ^ sono polinomi arbitrari in ^ , di gradi eguali ai rispettivi indici, 

 « è un ulteriore parametro, e le a-, sono coefficienti costanti. Questo gruppo 

 risulta dalla moltiplicazione delle schiere seguenti (le quali sono anzi altret- 

 tanti gruppi, fatta eccezione per la [C]): 



[A] x' = x\y'=y\z'=z-\-x\ rf-' ì.m-%{x) -f- 2/"-^^2m-2(-:r) -\ 1- ìrnn-%{x) \ 



