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funzioni razionali intere di un numero finito d' invarianti fondamentali, i 

 quali si ottengono da 



[A« ... L>^] 



attribuendo agli esponenti a , /S , ... , A i valori 0 ed 1 in tutte le maniere 

 possibili. 



GÌ' invarianti fondamentali, quando è > 2 , non sono algebricamente 

 indipendenti e, convenendo di chiamare ordine di un tale invariante il nu- 

 mero delle sostituzioni fondamentali che entrano nella sua espressione, io 

 voglio qui dimostrare il seguente teorema: 



Un invariante d' ordine r > 2 è radice di una equazione algebrica^ 

 i cui coefficienti sono fumioni razionali intere degli invarianti fonda- 

 mentali di P e 2° ordine e che è risolubile mediante estrazioni di radici 

 quadrate. 



2. Denoti T una sostituzione qualunque di un gruppo F: essa è una 

 combinazione di un numero finito di sostituzioni fondamentali e delle loro 

 inverse ; ma, data T , pensando alla proprietà associativa delle operazioni del 

 gruppo r e, se questo è un gruppo Kleiniano, anche alle relazioni che espri- 

 mono la discontinuità propria del detto gruppo, si possono immaginare infi- 

 nite altre di tali combinazioni che riproducono la sostituzione T. 



Relativamente a questo fatto, si conviene di chiamare esponente di T, 

 rispetto ad un sistema di sostituzioni fondamentali già fissato, il minimo 

 numero delle sostituzioni del detto sistema, dirette od inverse, eguali o di- 

 seguali, che occorrono per formare T . 



È chiaro che le sostituzioni di un gruppo T, generato da un numero 

 finito di sostituzioni fondamentali, costituiscono un insieme numerabile. In- 

 , fatti, ripetendo l' osservazione che ha servito al sig. G. Cantor per dimo- 

 strare la stessa proprietà pei numeri algebrici, tutte le sostituzioni di F, 

 che hanno un dato esponente n , sono evidentemente in numero finito e perciò 

 si possono ordinare. Allora, facendo successivamente ^ — 0,1,2,...., io 

 posso scrivere prima la sostituzione identica, poi le sostituzioni che hanno 

 l'esponente 1 nell'ordine stabilito, poi le sostituzioni che hanno l'espo- 

 nente 2 neir ordine stabilito, e così di seguito. 



3. Ciò posto, sia TA*' una sostituzione di F che abbia come esponente 

 quello di T aumentato del valore assoluto dell' intero p . Per qualunque va- 

 lore positivo 0 negativo di , si ha 



(1) [TAf] = [TA]Pi + [T]P. 



dove Pi e P2 sono due polinomi rispetto ad [A]. 



Infatti, se Ti e Ta sono due arbitrarie sostituzioni di -T, si può facil- 

 mente verificare l'identità 



(2) 



[T, Tr'] = [TJ[T,]-[T.TJ; 



