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donde, cambiando e T, rispettivamente in TA^-^ ed A, si trae l'equa- 

 zione ricorrente (^) 



(3) [TAf ] = [TAf-i] [A] — [TAf , 



la quale dimostra la (1) quando è jo^O. 



Nel caso in cui è p <C0, si conclude egualmente scrivendo la (3) nel 

 seguente modo: 



[TAf--] = [TAf-i] [A] — [TAf] • 



Per il calcolo effettivo di [TA^*] è utile conoscere le espressioni dei 

 polinomi Pi e Pj. 



Se e Qz sono i moltiplicatori della sostituzione A, cioè a dire le ra- 

 dici dell' equazione di secondo grado 



?^-[A]?-l-0, 

 si soddisfa alla (3) ponendo 



[TAf] =hQ,P-{- kq^v 



dove h Q k sono due numeri indipendenti da p, che debbono essere determi- 

 nati in modo che sia 



[TA] = /z^i + , [T] = A + /^. 

 Si ottiene così la relazione 



(4) [TA^] = [TA] - [T] ^;j^=^ ; 

 quindi, se è > 0 , un calcolo facile mostra che è 



= |(^) [A]^- + (^) [A]^-([A]^-4)+ [A].>- ([A]^-4)^+ - 



ed il polinomio P2 si ottiene cambiando di segno l' espressione di Pj dopo 

 avere scritto p — 1 al posto di ^ . 



Nel caso in cui è ^ •< 0 , tenendo presente la (4) e che è ^1 ^2 = 1 , 

 si vede che i polinomi Pi e P2 si cambiano rispettivamente nei polinomi P, 

 e Pi relativi all' espressione di [TA-^"*"^] . 



La formola (1) mostra che l' invariante della sostituzione TA^' si esprime 

 linearmente mediante l' invariante della sostituzione T e quello della sostitu- 

 zione TA , dove la sostituzione fondamentale A , che figura come ultimo fat- 

 tore, ha r esponente eguale ad 1. 



4. L' esponente /x della sostituzione 



(•) Vedi Poincaré, 1. cit. 



TiA^^B'^Ts 



